Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{x + 4} > \frac{1}{x - 3}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{1}{x - 3}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x - 3} > 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x - 3}$ .

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Schritt 2.1

Um $\frac{1}{x + 4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{1}{x + 4} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{x - 3} > 0$

Schritt 2.2

Um $- \frac{1}{x - 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{1}{x + 4} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{x - 3} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} > 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 4) (x - 3)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 4}$ mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x - 3}{(x + 4) (x - 3)} - \frac{1}{x - 3} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} > 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 3}$ mit $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x - 3}{(x + 4) (x - 3)} - \frac{x + 4}{(x - 3) (x + 4)} > 0$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(x - 3) (x + 4)$ um.

$\frac{x - 3}{(x + 4) (x - 3)} - \frac{x + 4}{(x + 4) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 3 - (x + 4)}{(x + 4) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 3 - x - 1 \cdot 4}{(x + 4) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{x - 3 - x - 4}{(x + 4) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.5.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{0 - 3 - 4}{(x + 4) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.5.4

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$\frac{- 3 - 4}{(x + 4) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.5.5

Subtrahiere $4$ von $- 3$ .

$\frac{- 7}{(x + 4) (x - 3)} > 0$

Schritt 2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{7}{(x + 4) (x - 3)} > 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x + 4 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 5

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 4$

$x = 3$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 4, 3$

Schritt 8

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{7}{(x + 4) (x - 3)}$ .

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Schritt 8.1

Setze den Nenner in $\frac{7}{(x + 4) (x - 3)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x + 4) (x - 3) = 0$

Schritt 8.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 8.2.2

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.2.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 8.2.2.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 8.2.3

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.3.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 8.2.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 4) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = - 4, 3$

Schritt 8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 4$

$- 4 < x < 3$

$x > 3$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{(- 6) + 4} > \frac{1}{(- 6) - 3}$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $- 0.5$ ist nicht größer als die rechte Seite $- 0.\overline{1}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{(0) + 4} > \frac{1}{(0) - 3}$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $0.25$ ist größer als die rechte Seite $- 0.\overline{3}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{(6) + 4} > \frac{1}{(6) - 3}$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $0.1$ ist nicht größer als die rechte Seite $0.\overline{3}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 4 < x < 3$

Schritt 12

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 4, 3)$

Schritt 13