Elementarmathematik Beispiele

$\frac{2 x}{5} - \frac{1}{2} \cdot (x - 3) < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{2 x}{5} - \frac{1}{2} \cdot (x - 3)$ .

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x}{5} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 3 < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Schritt 1.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 x}{5} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 3 < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Schritt 1.1.3

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot - 3$ .

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Schritt 1.1.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x}{5} - \frac{x}{2} + 3 (\frac{1}{2}) < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Schritt 1.1.3.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 x}{5} - \frac{x}{2} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Schritt 1.2

Um $\frac{2 x}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Schritt 1.3

Um $- \frac{x}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 x}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{5}{5} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Schritt 1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $10$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 x}{5}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{5}{5} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{2 x \cdot 2}{10} - \frac{x}{2} \cdot \frac{5}{5} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $\frac{x}{2}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 x \cdot 2}{10} - \frac{x \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Schritt 1.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{2 x \cdot 2}{10} - \frac{x \cdot 5}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Schritt 1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x \cdot 2 - x \cdot 5}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Schritt 1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x \cdot 2 - x \cdot 5$ heraus.

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Schritt 1.6.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x \cdot 2$ heraus.

$\frac{x (2 \cdot 2) - x \cdot 5}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Schritt 1.6.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x \cdot 5$ heraus.

$\frac{x (2 \cdot 2) + x (- 1 \cdot 5)}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Schritt 1.6.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (2 \cdot 2) + x (- 1 \cdot 5)$ heraus.

$\frac{x (2 \cdot 2 - 1 \cdot 5)}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Schritt 1.6.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x (4 - 1 \cdot 5)}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Schritt 1.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{x (4 - 5)}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Schritt 1.6.1.4

Subtrahiere $5$ von $4$ .

$\frac{x \cdot - 1}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Schritt 1.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Schritt 1.6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - (x + 2)$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - x - 1 \cdot 2$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - \frac{3}{10} - x - 2$

Schritt 2.2

Um $- x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} - x \cdot \frac{3}{3} - \frac{3}{10} - 2$

Schritt 2.3

Kombiniere $- x$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x}{3} + \frac{- x \cdot 3}{3} - \frac{3}{10} - 2$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x - x \cdot 3}{3} - \frac{3}{10} - 2$

Schritt 2.5

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $\frac{2 x - x \cdot 3}{3}$ mit $\frac{10}{10}$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{2 x - x \cdot 3}{3} \cdot \frac{10}{10} - \frac{3}{10} - 2$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $\frac{2 x - x \cdot 3}{3}$ mit $\frac{10}{10}$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{(2 x - x \cdot 3) \cdot 10}{3 \cdot 10} - \frac{3}{10} - 2$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $\frac{3}{10}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{(2 x - x \cdot 3) \cdot 10}{3 \cdot 10} - (\frac{3}{10} \cdot \frac{3}{3}) - 2$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $\frac{3}{10}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{(2 x - x \cdot 3) \cdot 10}{3 \cdot 10} - \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} - 2$

Schritt 2.5.5

Schreibe $- 2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{(2 x - x \cdot 3) \cdot 10}{3 \cdot 10} - \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} + \frac{- 2}{1}$

Schritt 2.5.6

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{30}{30}$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{(2 x - x \cdot 3) \cdot 10}{3 \cdot 10} - \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{30}{30}$

Schritt 2.5.7

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{30}{30}$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{(2 x - x \cdot 3) \cdot 10}{3 \cdot 10} - \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} + \frac{- 2 \cdot 30}{30}$

Schritt 2.5.8

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{(2 x - x \cdot 3) \cdot 10}{30} - \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} + \frac{- 2 \cdot 30}{30}$

Schritt 2.5.9

Stelle die Faktoren von $10 \cdot 3$ um.

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{(2 x - x \cdot 3) \cdot 10}{30} - \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 10} + \frac{- 2 \cdot 30}{30}$

Schritt 2.5.10

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{(2 x - x \cdot 3) \cdot 10}{30} - \frac{3 \cdot 3}{30} + \frac{- 2 \cdot 30}{30}$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{(2 x - x \cdot 3) \cdot 10 - 3 \cdot 3 - 2 \cdot 30}{30}$

Schritt 2.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{(2 x - 3 x) \cdot 10 - 3 \cdot 3 - 2 \cdot 30}{30}$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $3 x$ von $2 x$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{- x \cdot 10 - 3 \cdot 3 - 2 \cdot 30}{30}$

Schritt 2.7.3

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{- 10 x - 3 \cdot 3 - 2 \cdot 30}{30}$

Schritt 2.7.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{- 10 x - 9 - 2 \cdot 30}{30}$

Schritt 2.7.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $30$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{- 10 x - 9 - 60}{30}$

Schritt 2.8

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.8.1

Subtrahiere $60$ von $- 9$ .

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{- 10 x - 69}{30}$

Schritt 2.8.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 10 x$ heraus.

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{- (10 x) - 69}{30}$

Schritt 2.8.3

Schreibe $- 69$ als $- 1 (69)$ um.

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{- (10 x) - 1 (69)}{30}$

Schritt 2.8.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (10 x) - 1 (69)$ heraus.

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{- (10 x + 69)}{30}$

Schritt 2.8.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.5.1

Schreibe $- (10 x + 69)$ als $- 1 (10 x + 69)$ um.

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < \frac{- 1 (10 x + 69)}{30}$

Schritt 2.8.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} < - \frac{10 x + 69}{30}$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1

Addiere $\frac{10 x + 69}{30}$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$- \frac{x}{10} + \frac{3}{2} + \frac{10 x + 69}{30} < 0$

Schritt 3.2

Um $- \frac{x}{10}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x}{10} \cdot \frac{3}{3} + \frac{10 x + 69}{30} + \frac{3}{2} < 0$

Schritt 3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $30$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $\frac{x}{10}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x \cdot 3}{10 \cdot 3} + \frac{10 x + 69}{30} + \frac{3}{2} < 0$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $10$ mit $3$ .

$- \frac{x \cdot 3}{30} + \frac{10 x + 69}{30} + \frac{3}{2} < 0$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x \cdot 3 + 10 x + 69}{30} + \frac{3}{2} < 0$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{- 3 x + 10 x + 69}{30} + \frac{3}{2} < 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $- 3 x$ und $10 x$ .

$\frac{7 x + 69}{30} + \frac{3}{2} < 0$

Schritt 3.6

Um $\frac{3}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{15}{15}$ .

$\frac{7 x + 69}{30} + \frac{3}{2} \cdot \frac{15}{15} < 0$

Schritt 3.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $30$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{15}{15}$ .

$\frac{7 x + 69}{30} + \frac{3 \cdot 15}{2 \cdot 15} < 0$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$\frac{7 x + 69}{30} + \frac{3 \cdot 15}{30} < 0$

Schritt 3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7 x + 69 + 3 \cdot 15}{30} < 0$

Schritt 3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.9.1

Mutltipliziere $3$ mit $15$ .

$\frac{7 x + 69 + 45}{30} < 0$

Schritt 3.9.2

Addiere $69$ und $45$ .

$\frac{7 x + 114}{30} < 0$

Schritt 4

Multipliziere beide Seiten mit $30$ .

$\frac{7 x + 114}{30} \cdot 30 < 0 \cdot 30$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $30$ .

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Schritt 5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 x + 114}{30} \cdot 30 < 0 \cdot 30$

Schritt 5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$7 x + 114 < 0 \cdot 30$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $30$ .

$7 x + 114 < 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $114$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$7 x < - 114$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $7 x < - 114$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 x < - 114$ durch $7$ .

$\frac{7 x}{7} < \frac{- 114}{7}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 x}{7} < \frac{- 114}{7}$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{- 114}{7}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x < - \frac{114}{7}$

Schritt 7

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - \frac{114}{7})$

Schritt 8