Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} - 12 > - 2 x^{2} - 16 x$

Schritt 1

Stelle so um, dass $x$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$- 2 x^{2} - 16 x < x^{2} - 12$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 2 x^{2} - 16 x - x^{2} < - 12$

Schritt 2.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $- 2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} - 16 x < - 12$

Schritt 3

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- 3 x^{2} - 16 x = - 12$

Schritt 4

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x^{2} - 16 x + 12 = 0$

Schritt 5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2} - 16 x + 12$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$- (3 x^{2}) - 16 x + 12 = 0$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 16 x$ heraus.

$- (3 x^{2}) - (16 x) + 12 = 0$

Schritt 5.1.3

Schreibe $12$ als $- 1 (- 12)$ um.

$- (3 x^{2}) - (16 x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - (16 x)$ heraus.

$- (3 x^{2} + 16 x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Schritt 5.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2} + 16 x) - 1 (- 12)$ heraus.

$- (3 x^{2} + 16 x - 12) = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 12 = - 36$ und deren Summe gleich $b = 16$ ist.

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Schritt 5.2.1.1.1

Faktorisiere $16$ aus $16 x$ heraus.

$- (3 x^{2} + 16 (x) - 12) = 0$

Schritt 5.2.1.1.2

Schreibe $16$ um als $- 2$ plus $18$

$- (3 x^{2} + (- 2 + 18) x - 12) = 0$

Schritt 5.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (3 x^{2} - 2 x + 18 x - 12) = 0$

Schritt 5.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((3 x^{2} - 2 x) + 18 x - 12) = 0$

Schritt 5.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (x (3 x - 2) + 6 (3 x - 2)) = 0$

Schritt 5.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 2$ .

$- ((3 x - 2) (x + 6)) = 0$

Schritt 5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (3 x - 2) (x + 6) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Schritt 7

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Schritt 7.2

Löse $3 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 2$

Schritt 7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 7.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 8

Setze $x + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x + 6$ gleich $0$ .

$x + 6 = 0$

Schritt 8.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (3 x - 2) (x + 6) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{2}{3}, - 6$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 6$

$- 6 < x < \frac{2}{3}$

$x > \frac{2}{3}$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 8)}^{2} - 12 > - 2 {(- 8)}^{2} - 16 \cdot - 8$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $52$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $- 6 < x < \frac{2}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 6 < x < \frac{2}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{2} - 12 > - 2 {(0)}^{2} - 16 \cdot 0$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $- 12$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{2}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{2}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(3)}^{2} - 12 > - 2 {(3)}^{2} - 16 \cdot 3$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $- 3$ ist größer als die rechte Seite $- 66$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 6$ Wahr

$- 6 < x < \frac{2}{3}$ Falsch

$x > \frac{2}{3}$ Wahr

$x < - 6$ Wahr

$- 6 < x < \frac{2}{3}$ Falsch

$x > \frac{2}{3}$ Wahr

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 6$ oder $x > \frac{2}{3}$

Schritt 13

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 6) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

Schritt 14