Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + 6 x > - 10$

Schritt 1

Addiere $10$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} + 6 x + 10 > 0$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} + 6 x + 10 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 6$ und $c = 10$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 10)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $10$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 40}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $40$ von $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 i}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 2 i}{2}$ .

$x = - 3 \pm i$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $10$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 40}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $40$ von $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 i}{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 2 i}{2}$ .

$x = - 3 \pm i$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 3 + i$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $10$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 40}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $40$ von $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 i}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 2 i}{2}$ .

$x = - 3 \pm i$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 3 - i$

Schritt 8

Identifiziere den Leitkoeffizienten.

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Schritt 8.1

Der Führungsterm in einem Polynom ist der Term mit dem höchsten Grad.

$x^{2}$

Schritt 8.2

Der Leitkoeffizient in einem Polynom ist der Koeffizient des Führungsterms.

$1$

Schritt 9

Da es keine reellen x-Achsenabschnitte gibt und der Leitkoeffizient positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet und $x^{2} + 6 x$ ist immer größer als $0$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 10

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 11