Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{2} - 1}{x} < 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x = 0$

$x^{2} - 1 = 0$

Schritt 2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 1$

Schritt 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = 1, - 1$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, 1, - 1$

Schritt 8

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x^{2} - 1}{x}$ .

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Schritt 8.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} - 1}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 8.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 4)}^{2} - 1}{- 4} < 0$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $- 3.75$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 0.5$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $- 0.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 0.5)}^{2} - 1}{- 0.5} < 0$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $1.5$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.5$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $0.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(0.5)}^{2} - 1}{0.5} < 0$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $- 1.5$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 10.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(4)}^{2} - 1}{4} < 0$

Schritt 10.4.3

Die linke Seite $3.75$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

$x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 1$ oder $0 < x < 1$

Schritt 12

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$

Schritt 13