Elementarmathematik Beispiele

$| 2 x^{2} + 7 x - 15 | < 10$

Schritt 1

Schreibe $| 2 x^{2} + 7 x - 15 | < 10$ als abschnittsweise Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$2 x^{2} + 7 x - 15 \geq 0$

Schritt 1.2

Löse die Ungleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$2 x^{2} + 7 x - 15 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ und deren Summe gleich $b = 7$ ist.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x$ heraus.

$2 x^{2} + 7 (x) - 15 = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Schreibe $7$ um als $- 3$ plus $10$

$2 x^{2} + (- 3 + 10) x - 15 = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 3 x + 10 x - 15 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} - 3 x) + 10 x - 15 = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 3$ .

$(2 x - 3) (x + 5) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $2 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3$

Schritt 1.2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 1.2.5

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 3) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3}{2}, - 5$

Schritt 1.2.7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 5$

$- 5 < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Schritt 1.2.8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.2.8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 1.2.8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(- 8)}^{2} + 7 (- 8) - 15 \geq 0$

Schritt 1.2.8.1.3

Die linke Seite $57$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 1.2.8.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < \frac{3}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < \frac{3}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 1.2.8.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(0)}^{2} + 7 (0) - 15 \geq 0$

Schritt 1.2.8.2.3

Die linke Seite $- 15$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 1.2.8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{3}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{3}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 1.2.8.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(4)}^{2} + 7 (4) - 15 \geq 0$

Schritt 1.2.8.3.3

Die linke Seite $45$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 1.2.8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < \frac{3}{2}$ Falsch

$x > \frac{3}{2}$ Wahr

$x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < \frac{3}{2}$ Falsch

$x > \frac{3}{2}$ Wahr

Schritt 1.2.9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 5$ oder $x \geq \frac{3}{2}$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $2 x^{2} + 7 x - 15$ nicht negativ ist.

$2 x^{2} + 7 x - 15 < 10$

Schritt 1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$2 x^{2} + 7 x - 15 < 0$

Schritt 1.5

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.5.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$2 x^{2} + 7 x - 15 = 0$

Schritt 1.5.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.5.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ und deren Summe gleich $b = 7$ ist.

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Schritt 1.5.2.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x$ heraus.

$2 x^{2} + 7 (x) - 15 = 0$

Schritt 1.5.2.1.2

Schreibe $7$ um als $- 3$ plus $10$

$2 x^{2} + (- 3 + 10) x - 15 = 0$

Schritt 1.5.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 3 x + 10 x - 15 = 0$

Schritt 1.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} - 3 x) + 10 x - 15 = 0$

Schritt 1.5.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3) = 0$

Schritt 1.5.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 3$ .

$(2 x - 3) (x + 5) = 0$

Schritt 1.5.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 1.5.4

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.1

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Schritt 1.5.4.2

Löse $2 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3$

Schritt 1.5.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 1.5.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 1.5.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 1.5.5

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 1.5.5.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 1.5.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 3) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3}{2}, - 5$

Schritt 1.5.7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 5$

$- 5 < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Schritt 1.5.8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 1.5.8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 1.5.8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(- 8)}^{2} + 7 (- 8) - 15 < 0$

Schritt 1.5.8.1.3

Die linke Seite $57$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 1.5.8.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < \frac{3}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < \frac{3}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 1.5.8.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(0)}^{2} + 7 (0) - 15 < 0$

Schritt 1.5.8.2.3

Die linke Seite $- 15$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 1.5.8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{3}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{3}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 1.5.8.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(4)}^{2} + 7 (4) - 15 < 0$

Schritt 1.5.8.3.3

Die linke Seite $45$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 1.5.8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < \frac{3}{2}$ Wahr

$x > \frac{3}{2}$ Falsch

$x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < \frac{3}{2}$ Wahr

$x > \frac{3}{2}$ Falsch

Schritt 1.5.9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 5 < x < \frac{3}{2}$

Schritt 1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $2 x^{2} + 7 x - 15$ negativ ist.

$- (2 x^{2} + 7 x - 15) < 10$

Schritt 1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - (2 x^{2} + 7 x - 15) < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

Schritt 1.8

Vereinfache $- (2 x^{2} + 7 x - 15) < 10$ .

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Schritt 1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - (2 x^{2}) - (7 x) - - 15 < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

Schritt 1.8.2

Vereinfache.

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Schritt 1.8.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - 2 x^{2} - (7 x) - - 15 < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

Schritt 1.8.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - 2 x^{2} - 7 x - - 15 < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

Schritt 1.8.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 15$ .

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - 2 x^{2} - 7 x + 15 < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

Schritt 2

Löse $2 x^{2} + 7 x - 15 < 10$ , wenn $x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2}$ ergibt.

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Schritt 2.1

Löse $2 x^{2} + 7 x - 15 < 10$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1.1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 2.1.1.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x^{2} + 7 x - 15 - 10 < 0$

Schritt 2.1.1.2

Subtrahiere $10$ von $- 15$ .

$2 x^{2} + 7 x - 25 < 0$

Schritt 2.1.2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$2 x^{2} + 7 x - 25 = 0$

Schritt 2.1.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.1.4

Setze die Werte $a = 2$ , $b = 7$ und $c = - 25$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 25)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.1.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.5.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.1.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 25$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.1.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 25$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 200}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.1.5.1.3

Addiere $49$ und $200$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{4}$

Schritt 2.1.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.6.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.6.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.1.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 25$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.1.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 25$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 200}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.1.6.1.3

Addiere $49$ und $200$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{4}$

Schritt 2.1.6.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 7 + \sqrt{249}}{4}$

Schritt 2.1.6.4

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{249}}{4}$

Schritt 2.1.6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{249}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{249})}{4}$

Schritt 2.1.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{249})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{249})}{4}$

Schritt 2.1.6.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

Schritt 2.1.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.1.7.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.7.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.1.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 25$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.1.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 25$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 200}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.1.7.1.3

Addiere $49$ und $200$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.1.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{4}$

Schritt 2.1.7.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 7 - \sqrt{249}}{4}$

Schritt 2.1.7.4

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{249}}{4}$

Schritt 2.1.7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{249}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{249})}{4}$

Schritt 2.1.7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (7) - (\sqrt{249})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{249})}{4}$

Schritt 2.1.7.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$

Schritt 2.1.8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$

Schritt 2.1.9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

$x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

Schritt 2.1.10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 2.1.10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(- 8)}^{2} + 7 (- 8) - 15 < 10$

Schritt 2.1.10.1.3

Die linke Seite $57$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $10$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.1.10.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.1.10.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(0)}^{2} + 7 (0) - 15 < 10$

Schritt 2.1.10.2.3

Die linke Seite $- 15$ ist kleiner als die rechte Seite $10$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.1.10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 2.1.10.3.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(5)}^{2} + 7 (5) - 15 < 10$

Schritt 2.1.10.3.3

Die linke Seite $70$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $10$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.1.10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$ Falsch

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ Wahr

$x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ Falsch

$x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$ Falsch

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ Wahr

$x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ Falsch

Schritt 2.1.11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

Schritt 2.2

Bestimme die Schnittmenge von $- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ und $x \leq - 5 o r + x \geq \frac{3}{2}$ .

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x \leq - 5$ oder $\frac{3}{2} \leq x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

Schritt 3

Löse $- 2 x^{2} - 7 x + 15 < 10$ , wenn $- 5 < x < \frac{3}{2}$ ergibt.

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Schritt 3.1

Löse $- 2 x^{2} - 7 x + 15 < 10$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1.1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 3.1.1.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 2 x^{2} - 7 x + 15 - 10 < 0$

Schritt 3.1.1.2

Subtrahiere $10$ von $15$ .

$- 2 x^{2} - 7 x + 5 < 0$

Schritt 3.1.2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- 2 x^{2} - 7 x + 5 = 0$

Schritt 3.1.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.1.4

Setze die Werte $a = - 2$ , $b = - 7$ und $c = 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 5)}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 3.1.5

Vereinfache.

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Schritt 3.1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.5.1.1

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 2 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 3.1.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 2 \cdot 5$ .

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Schritt 3.1.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 8 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 3.1.5.1.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $5$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 40}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 3.1.5.1.3

Addiere $49$ und $40$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 3.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{- 4}$

Schritt 3.1.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{7 \pm \sqrt{89}}{4}$

Schritt 3.1.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.1.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.6.1.1

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 2 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 3.1.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 2 \cdot 5$ .

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Schritt 3.1.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 8 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 3.1.6.1.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $5$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 40}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 3.1.6.1.3

Addiere $49$ und $40$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 3.1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{- 4}$

Schritt 3.1.6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{7 \pm \sqrt{89}}{4}$

Schritt 3.1.6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$

Schritt 3.1.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.1.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.7.1.1

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 2 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 3.1.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 2 \cdot 5$ .

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Schritt 3.1.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 8 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 3.1.7.1.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $5$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 40}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 3.1.7.1.3

Addiere $49$ und $40$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 3.1.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{- 4}$

Schritt 3.1.7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{7 \pm \sqrt{89}}{4}$

Schritt 3.1.7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

Schritt 3.1.8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}, - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

Schritt 3.1.9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$

$- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

$x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

Schritt 3.1.10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 3.1.10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.1.10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 7$

Schritt 3.1.10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 7$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 2 {(- 7)}^{2} - 7 \cdot - 7 + 15 < 10$

Schritt 3.1.10.1.3

Die linke Seite $- 34$ ist kleiner als die rechte Seite $10$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 3.1.10.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.1.10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 3.1.10.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 2 {(0)}^{2} - 7 \cdot 0 + 15 < 10$

Schritt 3.1.10.2.3

Die linke Seite $15$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $10$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 3.1.10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 3.1.10.3.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 2 {(3)}^{2} - 7 \cdot 3 + 15 < 10$

Schritt 3.1.10.3.3

Die linke Seite $- 24$ ist kleiner als die rechte Seite $10$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 3.1.10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ Wahr

$- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ Falsch

$x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ Wahr

$x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ Wahr

$- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ Falsch

$x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ Wahr

Schritt 3.1.11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ oder $x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

Schritt 3.2

Bestimme die Schnittmenge von $x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4} or x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ und $- 5 < x < \frac{3}{2}$ .

$- 5 < x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ oder $- \frac{7 - \sqrt{89}}{4} < x < \frac{3}{2}$

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ oder $- \frac{7 - \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

Schritt 5

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \frac{7 + \sqrt{249}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}) \cup (- \frac{7 - \sqrt{89}}{4}, - \frac{7 - \sqrt{249}}{4})$

Schritt 6