Elementarmathematik Beispiele

$- \frac{1}{2} x^{2} - \frac{7}{2} x - 5 < 0$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} - \frac{7}{2} x - 5 < 0$

Schritt 1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{7}{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} - \frac{x \cdot 7}{2} - 5 < 0$

Schritt 1.3

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{x^{2}}{2} - \frac{7 x}{2} - 5 < 0$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{x^{2}}{2} - \frac{7 x}{2} - 5 < 0$ mit $2$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{x^{2}}{2} - \frac{7 x}{2} - 5 < 0$ mit $2$ .

$- \frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - \frac{7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2}}{2}$ in den Zähler.

$\frac{- x^{2}}{2} \cdot 2 - \frac{7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- x^{2}}{2} \cdot 2 - \frac{7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Schritt 2.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- x^{2} - \frac{7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7 x}{2}$ in den Zähler.

$- x^{2} + \frac{- 7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- x^{2} + \frac{- 7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Schritt 2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- x^{2} - 7 x - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$- x^{2} - 7 x - 10 < 0 \cdot 2$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$- x^{2} - 7 x - 10 < 0$

Schritt 3

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- x^{2} - 7 x - 10 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2} - 7 x - 10$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) - 7 x - 10 = 0$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 7 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (7 x) - 10 = 0$

Schritt 4.1.3

Schreibe $- 10$ als $- 1 (10)$ um.

$- (x^{2}) - (7 x) - 1 \cdot 10 = 0$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (7 x)$ heraus.

$- (x^{2} + 7 x) - 1 \cdot 10 = 0$

Schritt 4.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} + 7 x) - 1 (10)$ heraus.

$- (x^{2} + 7 x + 10) = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 7 x + 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $10$ und deren Summe $7$ ist.

$2, 5$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x + 2) (x + 5)) = 0$

Schritt 4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x + 2) (x + 5) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 6

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 7

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 7.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x + 2) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, - 5$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 2$

$x > - 2$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- \frac{1}{2} \cdot {(- 8)}^{2} - \frac{7}{2} \cdot - 8 - 5 < 0$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $- 9$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} - \frac{7}{2} \cdot - 4 - 5 < 0$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $1$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{2} - \frac{7}{2} \cdot 0 - 5 < 0$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $- 5$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < - 2$ Falsch

$x > - 2$ Wahr

$x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < - 2$ Falsch

$x > - 2$ Wahr

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 5$ oder $x > - 2$

Schritt 12

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 5) \cup (- 2, \infty)$

Schritt 13