Elementarmathematik Beispiele

$| x - \frac{1}{15} | < \frac{1}{5}$

Schritt 1

Schreibe $| x - \frac{1}{15} | < \frac{1}{5}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x - \frac{1}{15} \geq 0$

Schritt 1.2

Addiere $\frac{1}{15}$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq \frac{1}{15}$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x - \frac{1}{15}$ nicht negativ ist.

$x - \frac{1}{15} < \frac{1}{5}$

Schritt 1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x - \frac{1}{15} < 0$

Schritt 1.5

Addiere $\frac{1}{15}$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x < \frac{1}{15}$

Schritt 1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x - \frac{1}{15}$ negativ ist.

$- (x - \frac{1}{15}) < \frac{1}{5}$

Schritt 1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x - \frac{1}{15} < \frac{1}{5} & x \geq \frac{1}{15} \\ - (x - \frac{1}{15}) < \frac{1}{5} & x < \frac{1}{15} \end{cases}$

Schritt 1.8

Vereinfache $- (x - \frac{1}{15}) < \frac{1}{5}$ .

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Schritt 1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} x - \frac{1}{15} < \frac{1}{5} & x \geq \frac{1}{15} \\ - x - - \frac{1}{15} < \frac{1}{5} & x < \frac{1}{15} \end{cases}$

Schritt 1.8.2

Multipliziere $- - \frac{1}{15}$ .

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Schritt 1.8.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

${\begin{cases} x - \frac{1}{15} < \frac{1}{5} & x \geq \frac{1}{15} \\ - x + 1 (\frac{1}{15}) < \frac{1}{5} & x < \frac{1}{15} \end{cases}$

Schritt 1.8.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{15}$ mit $1$ .

${\begin{cases} x - \frac{1}{15} < \frac{1}{5} & x \geq \frac{1}{15} \\ - x + \frac{1}{15} < \frac{1}{5} & x < \frac{1}{15} \end{cases}$

Schritt 2

Löse $x - \frac{1}{15} < \frac{1}{5}$ , wenn $x \geq \frac{1}{15}$ ergibt.

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Schritt 2.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.1

Addiere $\frac{1}{15}$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x < \frac{1}{5} + \frac{1}{15}$

Schritt 2.1.2

Um $\frac{1}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x < \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{15}$

Schritt 2.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$x < \frac{3}{5 \cdot 3} + \frac{1}{15}$

Schritt 2.1.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$x < \frac{3}{15} + \frac{1}{15}$

Schritt 2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x < \frac{3 + 1}{15}$

Schritt 2.1.5

Addiere $3$ und $1$ .

$x < \frac{4}{15}$

Schritt 2.2

Bestimme die Schnittmenge von $x < \frac{4}{15}$ und $x \geq \frac{1}{15}$ .

$\frac{1}{15} \leq x < \frac{4}{15}$

Schritt 3

Löse $- x + \frac{1}{15} < \frac{1}{5}$ , wenn $x < \frac{1}{15}$ ergibt.

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Schritt 3.1

Löse $- x + \frac{1}{15} < \frac{1}{5}$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.1.1

Subtrahiere $\frac{1}{15}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x < \frac{1}{5} - \frac{1}{15}$

Schritt 3.1.1.2

Um $\frac{1}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- x < \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{15}$

Schritt 3.1.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- x < \frac{3}{5 \cdot 3} - \frac{1}{15}$

Schritt 3.1.1.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$- x < \frac{3}{15} - \frac{1}{15}$

Schritt 3.1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- x < \frac{3 - 1}{15}$

Schritt 3.1.1.5

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$- x < \frac{2}{15}$

Schritt 3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- x < \frac{2}{15}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Teile jeden Term in $- x < \frac{2}{15}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{\frac{2}{15}}{- 1}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} > \frac{\frac{2}{15}}{- 1}$

Schritt 3.1.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{\frac{2}{15}}{- 1}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.2.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{2}{15}}{- 1}$ .

$x > - 1 \cdot \frac{2}{15}$

Schritt 3.1.2.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{2}{15}$ als $- \frac{2}{15}$ um.

$x > - \frac{2}{15}$

Schritt 3.2

Bestimme die Schnittmenge von $x > - \frac{2}{15}$ und $x < \frac{1}{15}$ .

$- \frac{2}{15} < x < \frac{1}{15}$

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- \frac{2}{15} < x < \frac{4}{15}$

Schritt 5

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \frac{2}{15}, \frac{4}{15})$

Schritt 6