Elementarmathematik Beispiele

$f (t) = 26 \cdot e^{0.5 t}$

Schritt 1

Schreibe $f (t) = 26 \cdot e^{0.5 t}$ als Gleichung.

$y = 26 \cdot e^{0.5 t}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$t = 26 \cdot e^{0.5 y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $26 \cdot e^{0.5 y} = t$ um.

$26 \cdot e^{0.5 y} = t$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $26 \cdot e^{0.5 y} = t$ durch $26$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $26 \cdot e^{0.5 y} = t$ durch $26$ .

$\frac{26 \cdot e^{0.5 y}}{26} = \frac{t}{26}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $26$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{26 \cdot e^{0.5 y}}{26} = \frac{t}{26}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $e^{0.5 y}$ durch $1$ .

$e^{0.5 y} = \frac{t}{26}$

Schritt 3.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{0.5 y}) = \ln (\frac{t}{26})$

Schritt 3.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.4.1

Zerlege $\ln (e^{0.5 y})$ durch Herausziehen von $0.5 y$ aus dem Logarithmus.

$0.5 y \ln (e) = \ln (\frac{t}{26})$

Schritt 3.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$0.5 y \cdot 1 = \ln (\frac{t}{26})$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $0.5$ mit $1$ .

$0.5 y = \ln (\frac{t}{26})$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $0.5 y = \ln (\frac{t}{26})$ durch $0.5$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $0.5 y = \ln (\frac{t}{26})$ durch $0.5$ .

$\frac{0.5 y}{0.5} = \frac{\ln (\frac{t}{26})}{0.5}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.5$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.5 y}{0.5} = \frac{\ln (\frac{t}{26})}{0.5}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{t}{26})}{0.5}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{1 \ln (\frac{t}{26})}{0.5}$

Schritt 3.5.3.2

Faktorisiere $0.5$ aus $0.5$ heraus.

$y = \frac{1 \ln (\frac{t}{26})}{0.5 (1)}$

Schritt 3.5.3.3

Separiere Brüche.

$y = \frac{1}{0.5} \cdot \frac{\ln (\frac{t}{26})}{1}$

Schritt 3.5.3.4

Dividiere $1$ durch $0.5$ .

$y = 2 \frac{\ln (\frac{t}{26})}{1}$

Schritt 3.5.3.5

Dividiere $\ln (\frac{t}{26})$ durch $1$ .

$y = 2 \ln (\frac{t}{26})$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (t) = 2 \ln (\frac{t}{26})$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (t) = 2 \ln (\frac{t}{26})$ die Umkehrfunktion von $f (t) = 26 \cdot e^{0.5 t}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (t)) = t$ ist und $f (f^{- 1} (t)) = t$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (t))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (t))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t}) = 2 \ln (\frac{26 \cdot e^{0.5 t}}{26})$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $26$ .

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t}) = 2 \ln (\frac{26 \cdot e^{0.5 t}}{26})$

Schritt 5.2.3.2

Dividiere $e^{0.5 t}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t}) = 2 \ln (e^{0.5 t})$

Schritt 5.2.4

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $0.5 t$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t}) = 2 (0.5 t \ln (e))$

Schritt 5.2.5

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t}) = 2 (0.5 t \cdot 1)$

Schritt 5.2.6

Mutltipliziere $0.5$ mit $1$ .

$f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t}) = 2 (0.5 t)$

Schritt 5.2.7

Multipliziere $2 (0.5 t)$ .

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Schritt 5.2.7.1

Mutltipliziere $0.5$ mit $2$ .

$f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t}) = 1 t$

Schritt 5.2.7.2

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$f^{- 1} (26 \cdot e^{0.5 t}) = t$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (t))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (t))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (2 \ln (\frac{t}{26}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = 26 \cdot e^{0.5 (2 \ln (\frac{t}{26}))}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache $2 \ln (\frac{t}{26})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = 26 \cdot e^{0.5 \ln ({(\frac{t}{26})}^{2})}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache $0.5 \ln ({(\frac{t}{26})}^{2})$ , indem du $0.5$ in den Logarithmus ziehst.

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = 26 \cdot e^{\ln ({({(\frac{t}{26})}^{2})}^{0.5})}$

Schritt 5.3.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = 26 \cdot {({(\frac{t}{26})}^{2})}^{0.5}$

Schritt 5.3.6

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{t}{26})}^{2})}^{0.5}$ .

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Schritt 5.3.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = 26 \cdot {(\frac{t}{26})}^{2 \cdot 0.5}$

Schritt 5.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $0.5$ .

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = 26 \cdot (\frac{t}{26})$

Schritt 5.3.7

Vereinfache.

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = 26 \cdot \frac{t}{26}$

Schritt 5.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $26$ .

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Schritt 5.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = 26 \cdot \frac{t}{26}$

Schritt 5.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f (2 \ln (\frac{t}{26})) = t$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (t)) = t$ und $f (f^{- 1} (t)) = t$ gleich sind, ist $f^{- 1} (t) = 2 \ln (\frac{t}{26})$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (t) = 26 \cdot e^{0.5 t}$ .

$f^{- 1} (t) = 2 \ln (\frac{t}{26})$