Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = {(2 x + 5)}^{3}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = {(2 x + 5)}^{3}$ als Gleichung.

$y = {(2 x + 5)}^{3}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = {(2 y + 5)}^{3}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als ${(2 y + 5)}^{3} = x$ um.

${(2 y + 5)}^{3} = x$

Schritt 3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$2 y + 5 = \sqrt[3]{x}$

Schritt 3.3

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = \sqrt[3]{x} - 5$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \sqrt[3]{x} - 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \sqrt[3]{x} - 5$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} + \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {(2 x + 5)}^{3}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} ({(2 x + 5)}^{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 5)}^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x + 5)}^{3}}}{2} - \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} ({(2 x + 5)}^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x + 5)}^{3}} - 5}{2}$

Schritt 5.2.4

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} ({(2 x + 5)}^{3}) = \frac{2 x + 5 - 5}{2}$

Schritt 5.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x + 5 - 5$ .

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Schritt 5.2.5.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 5)}^{3}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 5)}^{3}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(2 x + 5)}^{3}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.6.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 5)}^{3}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = {(2 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) + 5)}^{3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = {(2 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5)}^{3}$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = {(2 (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5)}^{3}$

Schritt 5.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = {(\sqrt[3]{x} + 2 (- \frac{5}{2}) + 5)}^{3}$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{2}$ in den Zähler.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = {(\sqrt[3]{x} + 2 (\frac{- 5}{2}) + 5)}^{3}$

Schritt 5.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = {(\sqrt[3]{x} + 2 (\frac{- 5}{2}) + 5)}^{3}$

Schritt 5.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = {(\sqrt[3]{x} - 5 + 5)}^{3}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sqrt[3]{x} - 5 + 5$ .

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Schritt 5.3.4.1.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = {(\sqrt[3]{x} + 0)}^{3}$

Schritt 5.3.4.1.2

Addiere $\sqrt[3]{x}$ und $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = {\sqrt[3]{x}}^{3}$

Schritt 5.3.4.2

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ als $x$ um.

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Schritt 5.3.4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Schritt 5.3.4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Schritt 5.3.4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = x^{\frac{3}{3}}$

Schritt 5.3.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = x^{\frac{3}{3}}$

Schritt 5.3.4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = x$

Schritt 5.3.4.2.5

Vereinfache.

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = {(2 x + 5)}^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2} - \frac{5}{2}$