Elementarmathematik Beispiele

$4 x^{10} + 20 x^{9} + 35 x^{8} + 127 x^{7} + 35 x^{6} - 533 x^{5} + 433 x^{4} - 487 x^{3} + 321 x^{2} + 153 x - 108$

Schritt 1

Um die Anzahl möglicher positiver Wurzeln zu bestimmen, betrachte die Vorzeichen der Koeffizienten und zähle, wie oft die Vorzeichen der Koeffizienten von positiv nach negativ oder von negativ nach positiv wechseln.

$f (x) = 4 x^{10} + 20 x^{9} + 35 x^{8} + 127 x^{7} + 35 x^{6} - 533 x^{5} + 433 x^{4} - 487 x^{3} + 321 x^{2} + 153 x - 108$

Schritt 2

Da vom Term höchster Ordnung zum Term niedrigster Ordnung $5$ Vorzeichenwechsel erfolgen, gibt es höchstens $5$ positive Wurzeln (Vorzeichenregel von Descartes). Die anderen möglichen Anzahlen positiver Wurzeln werden bestimmt, indem Paare von Wurzeln voneinander subtrahiert werden $(5 - 2)$ .

Positive Wurzeln: $5$ , $3$ , or $1$

Schritt 3

Um die mögliche Anzahl negativer Wurzeln zu ermitteln, ersetze $x$ durch $- x$ und wiederhole den Vorzeichenvergleich.

$f (- x) = 4 {(- x)}^{10} + 20 {(- x)}^{9} + 35 {(- x)}^{8} + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = 4 ({(- 1)}^{10} x^{10}) + 20 {(- x)}^{9} + 35 {(- x)}^{8} + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Schritt 4.2

Potenziere $- 1$ mit $10$ .

$f (- x) = 4 (1 x^{10}) + 20 {(- x)}^{9} + 35 {(- x)}^{8} + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $x^{10}$ mit $1$ .

$f (- x) = 4 x^{10} + 20 {(- x)}^{9} + 35 {(- x)}^{8} + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Schritt 4.4

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = 4 x^{10} + 20 ({(- 1)}^{9} x^{9}) + 35 {(- x)}^{8} + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Schritt 4.5

Potenziere $- 1$ mit $9$ .

$f (- x) = 4 x^{10} + 20 (- x^{9}) + 35 {(- x)}^{8} + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $20$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 {(- x)}^{8} + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Schritt 4.7

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 ({(- 1)}^{8} x^{8}) + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Schritt 4.8

Potenziere $- 1$ mit $8$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 (1 x^{8}) + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $x^{8}$ mit $1$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} + 127 {(- x)}^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Schritt 4.10

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} + 127 ({(- 1)}^{7} x^{7}) + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Schritt 4.11

Potenziere $- 1$ mit $7$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} + 127 (- x^{7}) + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Schritt 4.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $127$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 {(- x)}^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Schritt 4.13

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 ({(- 1)}^{6} x^{6}) - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Schritt 4.14

Potenziere $- 1$ mit $6$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 (1 x^{6}) - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Schritt 4.15

Mutltipliziere $x^{6}$ mit $1$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} - 533 {(- x)}^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Schritt 4.16

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} - 533 ({(- 1)}^{5} x^{5}) + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Schritt 4.17

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} - 533 (- x^{5}) + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Schritt 4.18

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 533$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 {(- x)}^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Schritt 4.19

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 ({(- 1)}^{4} x^{4}) - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Schritt 4.20

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 (1 x^{4}) - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Schritt 4.21

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 x^{4} - 487 {(- x)}^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Schritt 4.22

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 x^{4} - 487 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Schritt 4.23

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 x^{4} - 487 (- x^{3}) + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Schritt 4.24

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 487$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 x^{4} + 487 x^{3} + 321 {(- x)}^{2} + 153 (- x) - 108$

Schritt 4.25

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 x^{4} + 487 x^{3} + 321 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 153 (- x) - 108$

Schritt 4.26

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 x^{4} + 487 x^{3} + 321 (1 x^{2}) + 153 (- x) - 108$

Schritt 4.27

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 x^{4} + 487 x^{3} + 321 x^{2} + 153 (- x) - 108$

Schritt 4.28

Mutltipliziere $- 1$ mit $153$ .

$f (- x) = 4 x^{10} - 20 x^{9} + 35 x^{8} - 127 x^{7} + 35 x^{6} + 533 x^{5} + 433 x^{4} + 487 x^{3} + 321 x^{2} - 153 x - 108$

Schritt 5

Da vom Term höchster Ordnung zum niedrigsten Term $5$ Vorzeichenwechsel erfolgen, gibt es höchstens $5$ negative Wurzeln (Vorzeichenregel von Descartes). Die anderen möglichen Anzahlen negativer Wurzeln werden bestimmt, indem Paare von Wurzeln voneinander subtrahiert werden (z. B. $5 - 2$ ).

Negative Wurzeln: $5$ , $3$ , or $1$

Schritt 6

Die mögliche Anzahl positiver Wurzeln ist $5$ , $3$ , or $1$ und die mögliche Anzahl negativer Wurzeln ist $5$ , $3$ , or $1$ .

Positive Wurzeln: $5$ , $3$ , or $1$

Negative Wurzeln: $5$ , $3$ , or $1$