Elementarmathematik Beispiele

$x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(2)}^{3} + 2 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 - 8$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 + 2 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 - 8$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $2$ mit ${(2)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit ${(2)}^{2}$ .

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Schritt 4.1.2.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$8 + 2^{1} {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 - 8$

Schritt 4.1.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 + 2^{1 + 2} - 4 \cdot 2 - 8$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$8 + 2^{3} - 4 \cdot 2 - 8$

Schritt 4.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 + 8 - 4 \cdot 2 - 8$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$8 + 8 - 8 - 8$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Addiere $8$ und $8$ .

$16 - 8 - 8$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $8$ von $16$ .

$8 - 8$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$0$

Schritt 5

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8}{x - 2}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(2)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(2)$ .

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$2$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$2$
	$1$	$4$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(8)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 4)$ .

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$2$	$8$
	$1$	$4$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$2$	$8$
	$1$	$4$	$4$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(8)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 8)$ .

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$2$	$8$	$8$
	$1$	$4$	$4$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$2$	$8$	$8$
	$1$	$4$	$4$	$0$

Schritt 6.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{2} + 4 x + 4$

Schritt 6.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{2} + 4 x + 4$

Schritt 7

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(x - 2) + x^{2} + 4 x + 2^{2}$

Schritt 7.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 7.3

Schreibe das Polynom neu.

$(x - 2) + x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}$

Schritt 7.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$(x - 2) + {(x + 2)}^{2}$

$(x - 2) {(x + 2)}^{2}$

Schritt 8

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 8.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{3} + 2 x^{2}) - 4 x - 8 = 0$

Schritt 8.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (x + 2) - 4 (x + 2) = 0$

Schritt 8.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 4) = 0$

Schritt 8.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(x + 2) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Schritt 8.4

Faktorisiere.

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Schritt 8.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$(x + 2) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 8.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 8.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 8.5.1

Potenziere $x + 2$ mit $1$ .

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 8.5.2

Potenziere $x + 2$ mit $1$ .

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 8.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x + 2)}^{1 + 1} (x - 2) = 0$

Schritt 8.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

${(x + 2)}^{2} (x - 2) = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 10

Setze ${(x + 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze ${(x + 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Schritt 10.2

Löse ${(x + 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 11

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 11.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 12

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x + 2)}^{2} (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, 2$

Schritt 13