Elementarmathematik Beispiele

$x^{4} + x^{3} - 42 x^{2}$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$0$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(0)}^{4} + {(0)}^{3} - 42 {(0)}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 0$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + {(0)}^{3} - 42 {(0)}^{2}$

Schritt 4.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 0 - 42 {(0)}^{2}$

Schritt 4.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 0 - 42 \cdot 0$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 42$ mit $0$ .

$0 + 0 + 0$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 5

Da $0$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x + 0$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} + x^{3} - 42 x^{2}}{x + 0}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(1)$ .

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$
	$1$	$1$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 42)$ .

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$1$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 42)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$	$0$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$	$0$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + 1 x^{2} + (- 42) x + 0$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} + x^{2} - 42 x$

Schritt 7

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} + x^{2} - 42 x$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + x^{2} - 42 x)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + x \cdot x - 42 x)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $x$ aus $- 42 x$ heraus.

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 42)$

Schritt 7.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot x$ heraus.

$(x + 0) (x (x^{2} + x) + x \cdot - 42)$

Schritt 7.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} + x) + x \cdot - 42$ heraus.

$(x + 0) (x (x^{2} + x - 42))$

Schritt 8

Faktorisiere.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $x^{2} + x - 42$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 8.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 42$ und deren Summe $1$ ist.

$- 6, 7$

Schritt 8.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 0) (x ((x - 6) (x + 7)))$

Schritt 8.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 0) (x (x - 6) (x + 7))$

Schritt 9

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4} + x^{3} - 42 x^{2}$ heraus.

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Schritt 9.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$x^{2} x^{2} + x^{3} - 42 x^{2} = 0$

Schritt 9.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$x^{2} x^{2} + x^{2} x - 42 x^{2} = 0$

Schritt 9.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 42 x^{2}$ heraus.

$x^{2} x^{2} + x^{2} x + x^{2} \cdot - 42 = 0$

Schritt 9.1.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{2} + x^{2} x$ heraus.

$x^{2} (x^{2} + x) + x^{2} \cdot - 42 = 0$

Schritt 9.1.5

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (x^{2} + x) + x^{2} \cdot - 42$ heraus.

$x^{2} (x^{2} + x - 42) = 0$

Schritt 9.2

Faktorisiere.

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $x^{2} + x - 42$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 9.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 42$ und deren Summe $1$ ist.

$- 6, 7$

Schritt 9.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x^{2} ((x - 6) (x + 7)) = 0$

Schritt 9.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{2} (x - 6) (x + 7) = 0$

Schritt 10

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 7 = 0$

Schritt 11

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 11.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 11.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 11.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 11.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 11.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 12

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 12.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 13

Setze $x + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $x + 7$ gleich $0$ .

$x + 7 = 0$

Schritt 13.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 14

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{2} (x - 6) (x + 7) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 6, - 7$

Schritt 15