Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{3} + 5 x^{2} + x - 2$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$2 {(- 1)}^{3} + 5 {(- 1)}^{2} - 1 - 2$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = - 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Entferne die Klammern.

$2 {(- 1)}^{3} + 5 {(- 1)}^{2} - 1 - 2$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$2 \cdot - 1 + 5 {(- 1)}^{2} - 1 - 2$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 + 5 {(- 1)}^{2} - 1 - 2$

Schritt 4.2.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 + 5 \cdot 1 - 1 - 2$

Schritt 4.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$- 2 + 5 - 1 - 2$

Schritt 4.3

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.3.1

Addiere $- 2$ und $5$ .

$3 - 1 - 2$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$2 - 2$

Schritt 4.3.3

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$0$

Schritt 5

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} + x - 2}{x + 1}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 1$	$2$	$5$	$1$	$- 2$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 1$	$2$	$5$	$1$	$- 2$

	$2$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 2)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(5)$ .

$- 1$	$2$	$5$	$1$	$- 2$
		$- 2$
	$2$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$2$	$5$	$1$	$- 2$
		$- 2$
	$2$	$3$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(3)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 3)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(1)$ .

$- 1$	$2$	$5$	$1$	$- 2$
		$- 2$	$- 3$
	$2$	$3$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$2$	$5$	$1$	$- 2$
		$- 2$	$- 3$
	$2$	$3$	$- 2$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 2)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(2)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 2)$ .

$- 1$	$2$	$5$	$1$	$- 2$
		$- 2$	$- 3$	$2$
	$2$	$3$	$- 2$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$2$	$5$	$1$	$- 2$
		$- 2$	$- 3$	$2$
	$2$	$3$	$- 2$	$0$

Schritt 6.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$2 x^{2} + 3 x - 2$

Schritt 7

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 7.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ und deren Summe gleich $b = 3$ ist.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$(x + 1) + 2 x^{2} + 3 (x) - 2$

Schritt 7.1.2

Schreibe $3$ um als $- 1$ plus $4$

$(x + 1) + 2 x^{2} + (- 1 + 4) x - 2$

Schritt 7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 1) + 2 x^{2} - 1 x + 4 x - 2$

Schritt 7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 1) (2 x^{2} - 1 x) + 4 x - 2$

Schritt 7.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 1) + x (2 x - 1) + 2 (2 x - 1)$

Schritt 7.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$(x + 1) + (2 x - 1) (x + 2)$

$(x + 1) (2 x - 1) (x + 2)$

Schritt 8

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $2 x^{3} + 5 x^{2} + x - 2$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 8.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 8.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 2$

Schritt 8.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 8.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

$2 {(- 1)}^{3} + 5 {(- 1)}^{2} - 1 - 2$

Schritt 8.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$2 \cdot - 1 + 5 {(- 1)}^{2} - 1 - 2$

Schritt 8.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 + 5 {(- 1)}^{2} - 1 - 2$

Schritt 8.1.3.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 + 5 \cdot 1 - 1 - 2$

Schritt 8.1.3.5

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$- 2 + 5 - 1 - 2$

Schritt 8.1.3.6

Addiere $- 2$ und $5$ .

$3 - 1 - 2$

Schritt 8.1.3.7

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$2 - 2$

Schritt 8.1.3.8

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$0$

Schritt 8.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} + x - 2}{x + 1}$

Schritt 8.1.5

Dividiere $2 x^{3} + 5 x^{2} + x - 2$ durch $x + 1$ .

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Schritt 8.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$2$

Schritt 8.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$

Schritt 8.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 8.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{3} + 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 8.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Schritt 8.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$

Schritt 8.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$

Schritt 8.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Schritt 8.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{2} + 3 x$

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 8.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$

Schritt 8.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	-	$2$

Schritt 8.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	-	$2$

Schritt 8.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Schritt 8.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x - 2$

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Schritt 8.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$
										$0$

Schritt 8.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$2 x^{2} + 3 x - 2$

Schritt 8.1.6

Schreibe $2 x^{3} + 5 x^{2} + x - 2$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 1) (2 x^{2} + 3 x - 2) = 0$

Schritt 8.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 8.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ und deren Summe gleich $b = 3$ ist.

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Schritt 8.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$(x + 1) (2 x^{2} + 3 (x) - 2) = 0$

Schritt 8.2.1.1.2

Schreibe $3$ um als $- 1$ plus $4$

$(x + 1) (2 x^{2} + (- 1 + 4) x - 2) = 0$

Schritt 8.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 1) (2 x^{2} - 1 x + 4 x - 2) = 0$

Schritt 8.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 8.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 1) ((2 x^{2} - 1 x) + 4 x - 2) = 0$

Schritt 8.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 1) (x (2 x - 1) + 2 (2 x - 1)) = 0$

Schritt 8.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$(x + 1) ((2 x - 1) (x + 2)) = 0$

Schritt 8.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) (2 x - 1) (x + 2) = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 10

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 10.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 11

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 11.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 11.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 11.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 11.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 11.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 12

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 12.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 13

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (2 x - 1) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, \frac{1}{2}, - 2$

Schritt 14