Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{2} - 2 x + 2 y^{2} - 6 y + 2 z^{2} - 4 z + 5$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 6$ und $c = 2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 (2 x^{2}) - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.4

Vereinfache.

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.4.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.4.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $5$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 40}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.5

Subtrahiere $40$ von $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.6

Faktorisiere $4$ aus $- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4$ heraus.

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Schritt 3.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 16 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $16 x$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $- 16 z^{2}$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.6.4

Faktorisiere $4$ aus $32 z$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) - 4}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.6.5

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.6.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x)$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.6.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2})$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.6.8

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z)$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.6.9

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.7

Schreibe $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ als $2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ um.

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Schritt 3.1.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 (2 x^{2}) - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.4.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.4.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $5$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 40}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.5

Subtrahiere $40$ von $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.6

Faktorisiere $4$ aus $- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4$ heraus.

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Schritt 4.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 16 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $16 x$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $- 16 z^{2}$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.6.4

Faktorisiere $4$ aus $32 z$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) - 4}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.6.5

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.6.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x)$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.6.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2})$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.6.8

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z)$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.6.9

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.7

Schreibe $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ als $2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ um.

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Schritt 4.1.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

Schritt 4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 (2 x^{2}) - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 5.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.4.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.4.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $5$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 40}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.5

Subtrahiere $40$ von $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.6

Faktorisiere $4$ aus $- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4$ heraus.

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Schritt 5.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 16 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $16 x$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $- 16 z^{2}$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.6.4

Faktorisiere $4$ aus $32 z$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) - 4}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.6.5

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.6.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x)$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.6.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2})$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.6.8

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z)$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.6.9

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ als $2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ um.

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Schritt 5.1.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

Schritt 5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{3 - \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{3 + \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

Schritt 7