Elementarmathematik Beispiele

$- 2 x^{2} + 3 x - 1$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$- 2 {(1)}^{2} + 3 (1) - 1$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 2 \cdot 1 + 3 (1) - 1$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 + 3 (1) - 1$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Addiere $- 2$ und $3$ .

$1 - 1$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0$

Schritt 5

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{- 2 x^{2} + 3 x - 1}{x - 1}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$1$	$- 2$	$3$	$- 1$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(- 2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$1$	$- 2$	$3$	$- 1$

	$- 2$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 2)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 2)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$1$	$- 2$	$3$	$- 1$
		$- 2$
	$- 2$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$- 2$	$3$	$- 1$
		$- 2$
	$- 2$	$1$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$1$	$- 2$	$3$	$- 1$
		$- 2$	$1$
	$- 2$	$1$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$- 2$	$3$	$- 1$
		$- 2$	$1$
	$- 2$	$1$	$0$

Schritt 6.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$(- 2) x + 1$

Schritt 6.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$- 2 x + 1$

Schritt 7

Löse die Gleichung, um sämtliche verbleibenden Wurzeln zu ermitteln.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 1$

Schritt 7.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 7.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 8

Das Polynom kann als ein Satz Linearfaktoren geschrieben werden.

$(x - 1) (x - \frac{1}{2})$

Schritt 9

Das sind die Wurzeln des Polynoms $- 2 x^{2} + 3 x - 1$ .

$x = 1, \frac{1}{2}$

Schritt 10