Elementarmathematik Beispiele

$3 x^{4} - 11 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1, \pm 3$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm 8, \pm \frac{8}{3}$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$3 {(4)}^{4} - 11 {(4)}^{3} - 3 {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 8$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 4$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $4$ mit $4$ .

$3 \cdot 256 - 11 {(4)}^{3} - 3 {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 8$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $256$ .

$768 - 11 {(4)}^{3} - 3 {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 8$

Schritt 4.1.3

Potenziere $4$ mit $3$ .

$768 - 11 \cdot 64 - 3 {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 8$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 11$ mit $64$ .

$768 - 704 - 3 {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 8$

Schritt 4.1.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$768 - 704 - 3 \cdot 16 - 6 \cdot 4 + 8$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $16$ .

$768 - 704 - 48 - 6 \cdot 4 + 8$

Schritt 4.1.7

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$768 - 704 - 48 - 24 + 8$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $704$ von $768$ .

$64 - 48 - 24 + 8$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $48$ von $64$ .

$16 - 24 + 8$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $24$ von $16$ .

$- 8 + 8$

Schritt 4.2.4

Addiere $- 8$ und $8$ .

$0$

Schritt 5

Da $4$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 4$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{3 x^{4} - 11 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8}{x - 4}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(3)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$

	$3$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(3)$ mit dem Divisor $(4)$ und schreibe das Ergebnis von $(12)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 11)$ .

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$
		$12$
	$3$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$
		$12$
	$3$	$1$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(4)$ und schreibe das Ergebnis von $(4)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 3)$ .

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$
		$12$	$4$
	$3$	$1$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$
		$12$	$4$
	$3$	$1$	$1$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(4)$ und schreibe das Ergebnis von $(4)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 6)$ .

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$
		$12$	$4$	$4$
	$3$	$1$	$1$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$
		$12$	$4$	$4$
	$3$	$1$	$1$	$- 2$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 2)$ mit dem Divisor $(4)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 8)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(8)$ .

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$
		$12$	$4$	$4$	$- 8$
	$3$	$1$	$1$	$- 2$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$
		$12$	$4$	$4$	$- 8$
	$3$	$1$	$1$	$- 2$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$3 x^{3} + 1 x^{2} + (1) x - 2$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$3 x^{3} + x^{2} + x - 2$

Schritt 7

Löse die Gleichung, um sämtliche verbleibenden Wurzeln zu ermitteln.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $3 x^{3} + x^{2} + x - 2$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 7.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

Schritt 7.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}$

Schritt 7.1.3

Setze $0.\overline{6}$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $0.\overline{6}$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 7.1.3.1

Setze $0.\overline{6}$ in das Polynom ein.

$3 \cdot {0.\overline{6}}^{3} + {0.\overline{6}}^{2} + 0.\overline{6} - 2$

Schritt 7.1.3.2

Potenziere $0.\overline{6}$ mit $3$ .

$3 \cdot 0.\overline{296} + {0.\overline{6}}^{2} + 0.\overline{6} - 2$

Schritt 7.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $0.\overline{296}$ .

$0.\overline{8} + {0.\overline{6}}^{2} + 0.\overline{6} - 2$

Schritt 7.1.3.4

Potenziere $0.\overline{6}$ mit $2$ .

$0.\overline{8} + 0.\overline{4} + 0.\overline{6} - 2$

Schritt 7.1.3.5

Addiere $0.\overline{8}$ und $0.\overline{4}$ .

$1.\overline{3} + 0.\overline{6} - 2$

Schritt 7.1.3.6

Addiere $1.\overline{3}$ und $0.\overline{6}$ .

$2 - 2$

Schritt 7.1.3.7

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$0$

Schritt 7.1.4

Da $0.\overline{6}$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $3 x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + x - 2}{3 x - 2}$

Schritt 7.1.5

Dividiere $3 x^{3} + x^{2} + x - 2$ durch $3 x - 2$ .

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Schritt 7.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$3 x$

$2$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

Schritt 7.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

					$x^{2}$
	$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$

Schritt 7.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			+	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 7.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 7.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Schritt 7.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$

Schritt 7.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$

Schritt 7.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	-	$2 x$

Schritt 7.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{2} - 2 x$

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$

Schritt 7.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$

Schritt 7.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	-	$2$

Schritt 7.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	-	$2$

Schritt 7.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	-	$2$
							+	$3 x$	-	$2$

Schritt 7.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x - 2$

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	-	$2$
							-	$3 x$	+	$2$

Schritt 7.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	-	$2$
							-	$3 x$	+	$2$
										$0$

Schritt 7.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + x + 1$

Schritt 7.1.6

Schreibe $3 x^{3} + x^{2} + x - 2$ als eine Menge von Faktoren.

$(3 x - 2) (x^{2} + x + 1) = 0$

Schritt 7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 2 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Schritt 7.3

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Schritt 7.3.2

Löse $3 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 2$

Schritt 7.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 7.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 7.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 7.4

Setze $x^{2} + x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.4.1

Setze $x^{2} + x + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Schritt 7.4.2

Löse $x^{2} + x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.4.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 7.4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.4.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.4.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.2.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 7.4.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.4.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.4.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.4.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.4.2.4.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.4.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 7.4.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 7.4.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.4.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.4.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.2.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 7.4.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.5.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.5.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.4.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.4.2.5.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.4.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 7.4.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 7.4.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.4.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x - 2) (x^{2} + x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{2}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8

Das Polynom kann als ein Satz Linearfaktoren geschrieben werden.

$(x - 4) (x - \frac{2}{3}) (x + \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}) (x + \frac{1 + i \sqrt{3}}{2})$

Schritt 9

Das sind die Wurzeln des Polynoms $3 x^{4} - 11 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8$ .

$x = 4, \frac{2}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 10