Elementarmathematik Beispiele

$x^{4} + 4 x^{3} - 14 x^{2} - 36 x + 45$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(1)}^{4} + 4 {(1)}^{3} - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 4 {(1)}^{3} - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

Schritt 4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 4 \cdot 1 - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$1 + 4 - 14 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1 + 45$

Schritt 4.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 4 - 14 \cdot 1 - 36 \cdot 1 + 45$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $- 14$ mit $1$ .

$1 + 4 - 14 - 36 \cdot 1 + 45$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $- 36$ mit $1$ .

$1 + 4 - 14 - 36 + 45$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ und $4$ .

$5 - 14 - 36 + 45$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $14$ von $5$ .

$- 9 - 36 + 45$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $36$ von $- 9$ .

$- 45 + 45$

Schritt 4.2.4

Addiere $- 45$ und $45$ .

$0$

Schritt 5

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} + 4 x^{3} - 14 x^{2} - 36 x + 45}{x - 1}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(4)$ .

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$
	$1$	$5$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(5)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(5)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 14)$ .

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$
	$1$	$5$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$
	$1$	$5$	$- 9$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 9)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 9)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 36)$ .

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$
	$1$	$5$	$- 9$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$
	$1$	$5$	$- 9$	$- 45$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 45)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 45)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(45)$ .

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$	$- 45$
	$1$	$5$	$- 9$	$- 45$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$4$	$- 14$	$- 36$	$45$
		$1$	$5$	$- 9$	$- 45$
	$1$	$5$	$- 9$	$- 45$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + 5 x^{2} + (- 9) x - 45$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} + 5 x^{2} - 9 x - 45$

Schritt 7

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 1) (x^{3} + 5 x^{2}) - 9 x - 45$

Schritt 7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 1) + x^{2} (x + 5) - 9 (x + 5)$

$(x - 1) x^{2} (x + 5) - 9 (x + 5)$

Schritt 8

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 5$ .

$(x - 1) (x + 5) (x^{2} - 9)$

Schritt 9

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(x - 1) (x + 5) (x^{2} - 3^{2})$

Schritt 10

Faktorisiere.

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Schritt 10.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$(x - 1) + (x + 5) ((x + 3) (x - 3))$

Schritt 10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 1) + (x + 5) (x + 3) (x - 3)$

$(x - 1) (x + 5) (x + 3) (x - 3)$

Schritt 11

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 11.1

Gruppiere die Terme um.

$4 x^{3} - 36 x + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Schritt 11.2

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3} - 36 x$ heraus.

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Schritt 11.2.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 x (x^{2}) - 36 x + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Schritt 11.2.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 36 x$ heraus.

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 9) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Schritt 11.2.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{2}) + 4 x (- 9)$ heraus.

$4 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Schritt 11.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$4 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Schritt 11.4

Faktorisiere.

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Schritt 11.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$4 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Schritt 11.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Schritt 11.5

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$4 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 14 x^{2} + 45 = 0$

Schritt 11.6

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 14 u + 45 = 0$

Schritt 11.7

Faktorisiere $u^{2} - 14 u + 45$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 11.7.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $45$ und deren Summe $- 14$ ist.

$- 9, - 5$

Schritt 11.7.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$4 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u - 5) = 0$

Schritt 11.8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} - 5) = 0$

Schritt 11.9

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$4 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 5) = 0$

Schritt 11.10

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$4 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5) = 0$

Schritt 11.11

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $4 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5)$ heraus.

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Schritt 11.11.1

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $4 x (x + 3) (x - 3)$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) (4 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5) = 0$

Schritt 11.11.2

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $(x + 3) (x - 3) (4 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 5)$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) (4 x + x^{2} - 5) = 0$

Schritt 11.12

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x + 3) (x - 3) (4 u + u^{2} - 5) = 0$

Schritt 11.13

Faktorisiere $4 u + u^{2} - 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 11.13.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 5$ und deren Summe $4$ ist.

$- 1, 5$

Schritt 11.13.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 3) (x - 3) ((u - 1) (u + 5)) = 0$

Schritt 11.14

Faktorisiere.

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Schritt 11.14.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x - 1) (x + 5)) = 0$

Schritt 11.14.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x + 5) = 0$

Schritt 12

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 13

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 13.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 14

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 14.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 15

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 15.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 15.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 16

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 16.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 16.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 17

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = - 3, 3, 1, - 5$

Schritt 18