Elementarmathematik Beispiele

$x^{4} - 625$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25, \pm 125, \pm 625$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 5, \pm 25, \pm 125, \pm 625$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(5)}^{4} - 625$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Potenziere $5$ mit $4$ .

$625 - 625$

Schritt 4.2

Subtrahiere $625$ von $625$ .

$0$

Schritt 5

Da $5$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 5$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} - 625}{x - 5}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$5$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 625$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$5$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 625$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(5)$ und schreibe das Ergebnis von $(5)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$5$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 625$
		$5$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$5$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 625$
		$5$
	$1$	$5$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(5)$ mit dem Divisor $(5)$ und schreibe das Ergebnis von $(25)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$5$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 625$
		$5$	$25$
	$1$	$5$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$5$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 625$
		$5$	$25$
	$1$	$5$	$25$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(25)$ mit dem Divisor $(5)$ und schreibe das Ergebnis von $(125)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$5$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 625$
		$5$	$25$	$125$
	$1$	$5$	$25$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$5$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 625$
		$5$	$25$	$125$
	$1$	$5$	$25$	$125$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(125)$ mit dem Divisor $(5)$ und schreibe das Ergebnis von $(625)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 625)$ .

$5$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 625$
		$5$	$25$	$125$	$625$
	$1$	$5$	$25$	$125$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$5$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 625$
		$5$	$25$	$125$	$625$
	$1$	$5$	$25$	$125$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + 5 x^{2} + (25) x + 125$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} + 5 x^{2} + 25 x + 125$

Schritt 7

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 5) (x^{3} + 5 x^{2}) + 25 x + 125$

Schritt 7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 5) + x^{2} (x + 5) + 25 (x + 5)$

$(x - 5) x^{2} (x + 5) + 25 (x + 5)$

Schritt 8

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 5$ .

$(x - 5) (x + 5) (x^{2} + 25)$

Schritt 9

Addiere $625$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} = 625$

Schritt 10

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{625}$

Schritt 11

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{625}$ .

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Schritt 11.1

Schreibe $625$ als $5^{4}$ um.

$x = \pm \sqrt[4]{5^{4}}$

Schritt 11.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 5$

Schritt 12

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 12.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 5$

Schritt 12.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 5$

Schritt 12.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 5, - 5$

Schritt 13