Elementarmathematik Beispiele

$x^{4} - 9 x^{2}$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$0$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(0)}^{4} - 9 {(0)}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 0$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 9 {(0)}^{2}$

Schritt 4.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 9 \cdot 0$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $0$ .

$0 + 0$

Schritt 4.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 5

Da $0$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x + 0$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} - 9 x^{2}}{x + 0}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$
	$1$	$0$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 9)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$0$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 9$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 9)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 9$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 9$	$0$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(0)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 9$	$0$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + 0 x^{2} + (- 9) x + 0$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} - 9 x$

Schritt 7

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 9 x$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$(x + 0) (x \cdot x^{2} - 9 x)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $x$ aus $- 9 x$ heraus.

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + x \cdot - 9)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot - 9$ heraus.

$(x + 0) (x (x^{2} - 9))$

Schritt 8

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(x + 0) (x (x^{2} - 3^{2}))$

Schritt 9

Faktorisiere.

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Schritt 9.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$(x + 0) (x ((x + 3) (x - 3)))$

Schritt 9.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 0) (x (x + 3) (x - 3))$

Schritt 10

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 10.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

${(x^{2})}^{2} - 9 x^{2} = 0$

Schritt 10.2

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$u^{2} - 9 u = 0$

Schritt 10.3

Faktorisiere $u$ aus $u^{2} - 9 u$ heraus.

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Schritt 10.3.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{2}$ heraus.

$u \cdot u - 9 u = 0$

Schritt 10.3.2

Faktorisiere $u$ aus $- 9 u$ heraus.

$u \cdot u + u \cdot - 9 = 0$

Schritt 10.3.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot u + u \cdot - 9$ heraus.

$u (u - 9) = 0$

Schritt 10.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 9) = 0$

Schritt 11

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 9 = 0$

Schritt 12

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 12.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 12.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 12.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 12.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 12.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 13

Setze $x^{2} - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $x^{2} - 9$ gleich $0$ .

$x^{2} - 9 = 0$

Schritt 13.2

Löse $x^{2} - 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.2.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 9$

Schritt 13.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Schritt 13.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 13.2.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 13.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

Schritt 13.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 13.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

Schritt 13.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

Schritt 13.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

Schritt 14

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{2} (x^{2} - 9) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 3, - 3$

Schritt 15