Elementarmathematik Beispiele

$x^{5} - 4 x^{4} - 3 x^{3} + 22 x^{2} - 4 x - 24$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(- 1)}^{5} - 4 {(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{3} + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = - 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$- 1 - 4 {(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{3} + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Schritt 4.1.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$- 1 - 4 \cdot 1 - 3 {(- 1)}^{3} + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 1 - 4 - 3 {(- 1)}^{3} + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Schritt 4.1.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 - 4 - 3 \cdot - 1 + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$- 1 - 4 + 3 + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Schritt 4.1.6

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 1 - 4 + 3 + 22 \cdot 1 - 4 \cdot - 1 - 24$

Schritt 4.1.7

Mutltipliziere $22$ mit $1$ .

$- 1 - 4 + 3 + 22 - 4 \cdot - 1 - 24$

Schritt 4.1.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$- 1 - 4 + 3 + 22 + 4 - 24$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $4$ von $- 1$ .

$- 5 + 3 + 22 + 4 - 24$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 5$ und $3$ .

$- 2 + 22 + 4 - 24$

Schritt 4.2.3

Addiere $- 2$ und $22$ .

$20 + 4 - 24$

Schritt 4.2.4

Addiere $20$ und $4$ .

$24 - 24$

Schritt 4.2.5

Subtrahiere $24$ von $24$ .

$0$

Schritt 5

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{5} - 4 x^{4} - 3 x^{3} + 22 x^{2} - 4 x - 24}{x + 1}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 4)$ .

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$
	$1$	$- 5$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 5)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(5)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 3)$ .

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$
	$1$	$- 5$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$
	$1$	$- 5$	$2$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 2)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(22)$ .

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$
	$1$	$- 5$	$2$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(20)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 20)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 4)$ .

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$	$- 20$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$	$- 20$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$	$- 24$

Schritt 6.11

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 24)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(24)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 24)$ .

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$	$- 20$	$24$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$	$- 24$

Schritt 6.12

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$	$- 20$	$24$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$	$- 24$	$0$

Schritt 6.13

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{4} + - 5 x^{3} + 2 x^{2} + 20 x - 24$

Schritt 6.14

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{4} - 5 x^{3} + 2 x^{2} + 20 x - 24$

Schritt 7

Löse die Gleichung, um sämtliche verbleibenden Wurzeln zu ermitteln.

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Schritt 7.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Gruppiere die Terme um.

$- 5 x^{3} + 20 x + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $- 5 x$ aus $- 5 x^{3} + 20 x$ heraus.

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Schritt 7.1.2.1

Faktorisiere $- 5 x$ aus $- 5 x^{3}$ heraus.

$- 5 x \cdot x^{2} + 20 x + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Schritt 7.1.2.2

Faktorisiere $- 5 x$ aus $20 x$ heraus.

$- 5 x \cdot x^{2} - 5 x \cdot - 4 + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Schritt 7.1.2.3

Faktorisiere $- 5 x$ aus $- 5 x (x^{2}) - 5 x (- 4)$ heraus.

$- 5 x (x^{2} - 4) + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Schritt 7.1.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- 5 x (x^{2} - 2^{2}) + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Schritt 7.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 7.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$- 5 x ((x + 2) (x - 2)) + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Schritt 7.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Schritt 7.1.5

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Schritt 7.1.6

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + u^{2} + 2 u - 24 = 0$

Schritt 7.1.7

Faktorisiere $u^{2} + 2 u - 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.1.7.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 24$ und deren Summe $2$ ist.

$- 4, 6$

Schritt 7.1.7.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + (u - 4) (u + 6) = 0$

Schritt 7.1.8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 4) (x^{2} + 6) = 0$

Schritt 7.1.9

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 6) = 0$

Schritt 7.1.10

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 6) = 0$

Schritt 7.1.11

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $- 5 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 6)$ heraus.

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Schritt 7.1.11.1

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $- 5 x (x + 2) (x - 2)$ heraus.

$(x + 2) (x - 2) (- 5 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 6) = 0$

Schritt 7.1.11.2

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $(x + 2) (x - 2) (- 5 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 6)$ heraus.

$(x + 2) (x - 2) (- 5 x + x^{2} + 6) = 0$

Schritt 7.1.12

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 5 u + u^{2} + 6) = 0$

Schritt 7.1.13

Faktorisiere $- 5 u + u^{2} + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.1.13.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 3, - 2$

Schritt 7.1.13.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 2) (x - 2) ((u - 3) (u - 2)) = 0$

Schritt 7.1.14

Faktorisiere.

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Schritt 7.1.14.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x - 2)) = 0$

Schritt 7.1.14.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) (x - 2) (x - 3) (x - 2) = 0$

Schritt 7.1.15

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 7.1.15.1

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$(x + 2) ((x - 2) (x - 2)) (x - 3) = 0$

Schritt 7.1.15.2

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$(x + 2) ((x - 2) (x - 2)) (x - 3) = 0$

Schritt 7.1.15.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 2) {(x - 2)}^{1 + 1} (x - 3) = 0$

Schritt 7.1.15.4

Addiere $1$ und $1$ .

$(x + 2) {(x - 2)}^{2} (x - 3) = 0$

Schritt 7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 7.3

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 7.3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 7.4

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.4.1

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 7.4.2

Löse ${(x - 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.4.2.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 7.4.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 7.5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 7.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 7.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) {(x - 2)}^{2} (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, 2, 3$

Schritt 8

Das Polynom kann als ein Satz Linearfaktoren geschrieben werden.

$(x + 1) (x + 2) (x - 2) (x - 3)$

Schritt 9

Das sind die Wurzeln des Polynoms $x^{5} - 4 x^{4} - 3 x^{3} + 22 x^{2} - 4 x - 24$ .

$x = - 1, - 2, 2, 3$

Schritt 10