Elementarmathematik Beispiele

$x^{3} - 7 x^{2} + 9 x - 63$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 9, \pm 21, \pm 63$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 9, \pm 21, \pm 63$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(7)}^{3} - 7 {(7)}^{2} + 9 (7) - 63$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 7$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $7$ mit $3$ .

$343 - 7 {(7)}^{2} + 9 (7) - 63$

Schritt 4.1.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$343 - 7 \cdot 49 + 9 (7) - 63$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $49$ .

$343 - 343 + 9 (7) - 63$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $9$ mit $7$ .

$343 - 343 + 63 - 63$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $343$ von $343$ .

$0 + 63 - 63$

Schritt 4.2.2

Addiere $0$ und $63$ .

$63 - 63$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $63$ von $63$ .

$0$

Schritt 5

Da $7$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 7$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 7 x^{2} + 9 x - 63}{x - 7}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$7$	$1$	$- 7$	$9$	$- 63$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$7$	$1$	$- 7$	$9$	$- 63$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(7)$ und schreibe das Ergebnis von $(7)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$7$	$1$	$- 7$	$9$	$- 63$
		$7$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$7$	$1$	$- 7$	$9$	$- 63$
		$7$
	$1$	$0$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(7)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(9)$ .

$7$	$1$	$- 7$	$9$	$- 63$
		$7$	$0$
	$1$	$0$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$7$	$1$	$- 7$	$9$	$- 63$
		$7$	$0$
	$1$	$0$	$9$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(9)$ mit dem Divisor $(7)$ und schreibe das Ergebnis von $(63)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 63)$ .

$7$	$1$	$- 7$	$9$	$- 63$
		$7$	$0$	$63$
	$1$	$0$	$9$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$7$	$1$	$- 7$	$9$	$- 63$
		$7$	$0$	$63$
	$1$	$0$	$9$	$0$

Schritt 6.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{2} + 0 x + 9$

Schritt 6.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{2} + 9$

Schritt 7

Löse die Gleichung, um sämtliche verbleibenden Wurzeln zu ermitteln.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 9$

Schritt 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Schritt 7.3.1

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Schritt 7.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (9)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Schritt 7.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Schritt 7.3.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Schritt 7.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 3$

Schritt 7.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 3 i$

Schritt 7.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3 i$

Schritt 7.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3 i$

Schritt 7.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3 i, - 3 i$

Schritt 8

Das Polynom kann als ein Satz Linearfaktoren geschrieben werden.

$(x - 7) (x - 3 i) (x + 3 i)$

Schritt 9

Das sind die Wurzeln des Polynoms $x^{3} - 7 x^{2} + 9 x - 63$ .

$x = 7, 3 i, - 3 i$

Schritt 10