Elementarmathematik Beispiele

$x^{3} - 125$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25, \pm 125$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 5, \pm 25, \pm 125$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(5)}^{3} - 125$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Potenziere $5$ mit $3$ .

$125 - 125$

Schritt 4.2

Subtrahiere $125$ von $125$ .

$0$

Schritt 5

Da $5$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 5$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 125}{x - 5}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$5$	$1$	$0$	$0$	$- 125$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$5$	$1$	$0$	$0$	$- 125$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(5)$ und schreibe das Ergebnis von $(5)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$5$	$1$	$0$	$0$	$- 125$
		$5$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$5$	$1$	$0$	$0$	$- 125$
		$5$
	$1$	$5$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(5)$ mit dem Divisor $(5)$ und schreibe das Ergebnis von $(25)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$5$	$1$	$0$	$0$	$- 125$
		$5$	$25$
	$1$	$5$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$5$	$1$	$0$	$0$	$- 125$
		$5$	$25$
	$1$	$5$	$25$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(25)$ mit dem Divisor $(5)$ und schreibe das Ergebnis von $(125)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 125)$ .

$5$	$1$	$0$	$0$	$- 125$
		$5$	$25$	$125$
	$1$	$5$	$25$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$5$	$1$	$0$	$0$	$- 125$
		$5$	$25$	$125$
	$1$	$5$	$25$	$0$

Schritt 6.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{2} + 5 x + 25$

Schritt 6.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{2} + 5 x + 25$

Schritt 7

Löse die Gleichung, um sämtliche verbleibenden Wurzeln zu ermitteln.

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Schritt 7.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 5$ und $c = 25$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Schritt 7.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.3

Subtrahiere $100$ von $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.4

Schreibe $- 75$ als $- 1 (75)$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (75)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.7

Schreibe $75$ als $5^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 7.3.1.7.1

Faktorisiere $25$ aus $75$ heraus.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.7.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.9

Bringe $5$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Schritt 7.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.1.3

Subtrahiere $100$ von $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.1.4

Schreibe $- 75$ als $- 1 (75)$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (75)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.1.7

Schreibe $75$ als $5^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 7.4.1.7.1

Faktorisiere $25$ aus $75$ heraus.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.1.7.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.1.9

Bringe $5$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.4.4

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $5 i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (- 5 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 7.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5) - (- 5 i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (5 - 5 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 7.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.5.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Schritt 7.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.3

Subtrahiere $100$ von $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.4

Schreibe $- 75$ als $- 1 (75)$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (75)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.7

Schreibe $75$ als $5^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 7.5.1.7.1

Faktorisiere $25$ aus $75$ heraus.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.7.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.9

Bringe $5$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.5.4

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (5 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 7.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5) - (5 i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (5 + 5 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 7.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8

Das Polynom kann als ein Satz Linearfaktoren geschrieben werden.

$(x - 5) (x + \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}) (x + \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2})$

Schritt 9

Das sind die Wurzeln des Polynoms $x^{3} - 125$ .

$x = 5, - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 10