Elementarmathematik Beispiele

$5 x^{5} - 36 x^{4} + 62 x^{3} - 46 x^{2} + 57 x - 10$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$

$q = \pm 1, \pm 5$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{5}, \pm 2, \pm \frac{2}{5}, \pm 5, \pm 10$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$5 {(2)}^{5} - 36 {(2)}^{4} + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $2$ mit $5$ .

$5 \cdot 32 - 36 {(2)}^{4} + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $32$ .

$160 - 36 {(2)}^{4} + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Schritt 4.1.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$160 - 36 \cdot 16 + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 36$ mit $16$ .

$160 - 576 + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Schritt 4.1.5

Potenziere $2$ mit $3$ .

$160 - 576 + 62 \cdot 8 - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $62$ mit $8$ .

$160 - 576 + 496 - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Schritt 4.1.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$160 - 576 + 496 - 46 \cdot 4 + 57 (2) - 10$

Schritt 4.1.8

Mutltipliziere $- 46$ mit $4$ .

$160 - 576 + 496 - 184 + 57 (2) - 10$

Schritt 4.1.9

Mutltipliziere $57$ mit $2$ .

$160 - 576 + 496 - 184 + 114 - 10$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $576$ von $160$ .

$- 416 + 496 - 184 + 114 - 10$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 416$ und $496$ .

$80 - 184 + 114 - 10$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $184$ von $80$ .

$- 104 + 114 - 10$

Schritt 4.2.4

Addiere $- 104$ und $114$ .

$10 - 10$

Schritt 4.2.5

Subtrahiere $10$ von $10$ .

$0$

Schritt 5

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{5 x^{5} - 36 x^{4} + 62 x^{3} - 46 x^{2} + 57 x - 10}{x - 2}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(5)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$

	$5$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(5)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(10)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 36)$ .

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$
	$5$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$
	$5$	$- 26$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 26)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 52)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(62)$ .

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$
	$5$	$- 26$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$
	$5$	$- 26$	$10$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(10)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(20)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 46)$ .

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$
	$5$	$- 26$	$10$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$
	$5$	$- 26$	$10$	$- 26$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 26)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 52)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(57)$ .

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$	$- 52$
	$5$	$- 26$	$10$	$- 26$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$	$- 52$
	$5$	$- 26$	$10$	$- 26$	$5$

Schritt 6.11

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(5)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(10)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 10)$ .

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$	$- 52$	$10$
	$5$	$- 26$	$10$	$- 26$	$5$

Schritt 6.12

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$	$- 52$	$10$
	$5$	$- 26$	$10$	$- 26$	$5$	$0$

Schritt 6.13

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$5 x^{4} + - 26 x^{3} + 10 x^{2} + - 26 x + 5$

Schritt 6.14

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$5 x^{4} - 26 x^{3} + 10 x^{2} - 26 x + 5$

Schritt 7

Löse die Gleichung, um sämtliche verbleibenden Wurzeln zu ermitteln.

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Schritt 7.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Gruppiere die Terme um.

$- 26 x^{3} - 26 x + 5 x^{4} + 10 x^{2} + 5 = 0$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $- 26 x$ aus $- 26 x^{3} - 26 x$ heraus.

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Schritt 7.1.2.1

Faktorisiere $- 26 x$ aus $- 26 x^{3}$ heraus.

$- 26 x \cdot x^{2} - 26 x + 5 x^{4} + 10 x^{2} + 5 = 0$

Schritt 7.1.2.2

Faktorisiere $- 26 x$ aus $- 26 x$ heraus.

$- 26 x \cdot x^{2} - 26 x \cdot 1 + 5 x^{4} + 10 x^{2} + 5 = 0$

Schritt 7.1.2.3

Faktorisiere $- 26 x$ aus $- 26 x (x^{2}) - 26 x (1)$ heraus.

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 x^{4} + 10 x^{2} + 5 = 0$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{4} + 10 x^{2} + 5$ heraus.

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Schritt 7.1.3.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{4}$ heraus.

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (x^{4}) + 10 x^{2} + 5 = 0$

Schritt 7.1.3.2

Faktorisiere $5$ aus $10 x^{2}$ heraus.

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (x^{4}) + 5 (2 x^{2}) + 5 = 0$

Schritt 7.1.3.3

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (x^{4}) + 5 (2 x^{2}) + 5 (1) = 0$

Schritt 7.1.3.4

Faktorisiere $5$ aus $5 (x^{4}) + 5 (2 x^{2})$ heraus.

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (x^{4} + 2 x^{2}) + 5 (1) = 0$

Schritt 7.1.3.5

Faktorisiere $5$ aus $5 (x^{4} + 2 x^{2}) + 5 (1)$ heraus.

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Schritt 7.1.4

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Schritt 7.1.5

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

Schritt 7.1.6

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 7.1.6.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

Schritt 7.1.6.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Schritt 7.1.6.3

Schreibe das Polynom neu.

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 7.1.6.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 1$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 {(u + 1)}^{2} = 0$

Schritt 7.1.7

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Schritt 7.1.8

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $- 26 x (x^{2} + 1) + 5 {(x^{2} + 1)}^{2}$ heraus.

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Schritt 7.1.8.1

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $- 26 x (x^{2} + 1)$ heraus.

$(x^{2} + 1) (- 26 x) + 5 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Schritt 7.1.8.2

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $5 {(x^{2} + 1)}^{2}$ heraus.

$(x^{2} + 1) (- 26 x) + (x^{2} + 1) (5 (x^{2} + 1)) = 0$

Schritt 7.1.8.3

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $(x^{2} + 1) (- 26 x) + (x^{2} + 1) (5 (x^{2} + 1))$ heraus.

$(x^{2} + 1) (- 26 x + 5 (x^{2} + 1)) = 0$

Schritt 7.1.9

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} + 1) (- 26 x + 5 x^{2} + 5 \cdot 1) = 0$

Schritt 7.1.10

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$(x^{2} + 1) (- 26 x + 5 x^{2} + 5) = 0$

Schritt 7.1.11

Stelle die Terme um.

$(x^{2} + 1) (5 x^{2} - 26 x + 5) = 0$

Schritt 7.1.12

Faktorisiere.

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Schritt 7.1.12.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 7.1.12.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot 5 = 25$ und deren Summe gleich $b = - 26$ ist.

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Schritt 7.1.12.1.1.1

Faktorisiere $- 26$ aus $- 26 x$ heraus.

$(x^{2} + 1) (5 x^{2} - 26 x + 5) = 0$

Schritt 7.1.12.1.1.2

Schreibe $- 26$ um als $- 1$ plus $- 25$

$(x^{2} + 1) (5 x^{2} + (- 1 - 25) x + 5) = 0$

Schritt 7.1.12.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} + 1) (5 x^{2} - 1 x - 25 x + 5) = 0$

Schritt 7.1.12.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.1.12.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{2} + 1) ((5 x^{2} - 1 x) - 25 x + 5) = 0$

Schritt 7.1.12.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x^{2} + 1) (x (5 x - 1) - 5 (5 x - 1)) = 0$

Schritt 7.1.12.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x - 1$ .

$(x^{2} + 1) ((5 x - 1) (x - 5)) = 0$

Schritt 7.1.12.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 1) (5 x - 1) (x - 5) = 0$

Schritt 7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$5 x - 1 = 0$

$x - 5 = 0$

Schritt 7.3

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 7.3.2

Löse $x^{2} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 7.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 7.3.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 7.3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 7.3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 7.3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 7.4

Setze $5 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.4.1

Setze $5 x - 1$ gleich $0$ .

$5 x - 1 = 0$

Schritt 7.4.2

Löse $5 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 1$

Schritt 7.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 1$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 7.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 1$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Schritt 7.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 7.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Schritt 7.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

Schritt 7.5

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.5.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 7.5.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 7.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} + 1) (5 x - 1) (x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = i, - i, \frac{1}{5}, 5$

Schritt 8

Das Polynom kann als ein Satz Linearfaktoren geschrieben werden.

$(x - 2) (x - i) (x + i) (x - \frac{1}{5}) (x - 5)$

Schritt 9

Das sind die Wurzeln des Polynoms $5 x^{5} - 36 x^{4} + 62 x^{3} - 46 x^{2} + 57 x - 10$ .

$x = 2, i, - i, \frac{1}{5}, 5$

Schritt 10