Elementarmathematik Beispiele

$5 x^{3} - 26 x^{2} + 25$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 5$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{5}, \pm 5, \pm 25$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$5 {(5)}^{3} - 26 {(5)}^{2} + 25$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $5$ mit ${(5)}^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.1.1

Mutltipliziere $5$ mit ${(5)}^{3}$ .

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Schritt 4.1.1.1.1

Potenziere $5$ mit $1$ .

$5^{1} {(5)}^{3} - 26 {(5)}^{2} + 25$

Schritt 4.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5^{1 + 3} - 26 {(5)}^{2} + 25$

Schritt 4.1.1.2

Addiere $1$ und $3$ .

$5^{4} - 26 {(5)}^{2} + 25$

Schritt 4.1.2

Potenziere $5$ mit $4$ .

$625 - 26 {(5)}^{2} + 25$

Schritt 4.1.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$625 - 26 \cdot 25 + 25$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 26$ mit $25$ .

$625 - 650 + 25$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $650$ von $625$ .

$- 25 + 25$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 25$ und $25$ .

$0$

Schritt 5

Da $5$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 5$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{5 x^{3} - 26 x^{2} + 25}{x - 5}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$5$	$5$	$- 26$	$0$	$25$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(5)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$5$	$5$	$- 26$	$0$	$25$

	$5$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(5)$ mit dem Divisor $(5)$ und schreibe das Ergebnis von $(25)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 26)$ .

$5$	$5$	$- 26$	$0$	$25$
		$25$
	$5$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$5$	$5$	$- 26$	$0$	$25$
		$25$
	$5$	$- 1$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 1)$ mit dem Divisor $(5)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 5)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$5$	$5$	$- 26$	$0$	$25$
		$25$	$- 5$
	$5$	$- 1$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$5$	$5$	$- 26$	$0$	$25$
		$25$	$- 5$
	$5$	$- 1$	$- 5$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 5)$ mit dem Divisor $(5)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 25)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(25)$ .

$5$	$5$	$- 26$	$0$	$25$
		$25$	$- 5$	$- 25$
	$5$	$- 1$	$- 5$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$5$	$5$	$- 26$	$0$	$25$
		$25$	$- 5$	$- 25$
	$5$	$- 1$	$- 5$	$0$

Schritt 6.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$5 x^{2} + - 1 x - 5$

Schritt 6.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$5 x^{2} - x - 5$

Schritt 7

Löse die Gleichung, um sämtliche verbleibenden Wurzeln zu ermitteln.

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Schritt 7.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.2

Setze die Werte $a = 5$ , $b = - 1$ und $c = - 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot - 5)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot - 5}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 5 \cdot - 5$ .

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Schritt 7.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot - 5}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 100}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.3.1.3

Addiere $1$ und $100$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{101}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{101}}{10}$

Schritt 7.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot - 5}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 5 \cdot - 5$ .

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Schritt 7.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot - 5}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 100}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.4.1.3

Addiere $1$ und $100$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{101}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{101}}{10}$

Schritt 7.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{101}}{10}$

Schritt 7.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.5.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot - 5}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 5 \cdot - 5$ .

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Schritt 7.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot - 5}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 100}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.5.1.3

Addiere $1$ und $100$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{101}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{101}}{10}$

Schritt 7.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{101}}{10}$

Schritt 7.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + \sqrt{101}}{10}, \frac{1 - \sqrt{101}}{10}$

Schritt 8

Das Polynom kann als ein Satz Linearfaktoren geschrieben werden.

$(x - 5) (x - \frac{1 + \sqrt{101}}{10}) (x - \frac{1 - \sqrt{101}}{10})$

Schritt 9

Das sind die Wurzeln des Polynoms $5 x^{3} - 26 x^{2} + 25$ .

$x = 5, \frac{1 + \sqrt{101}}{10}, \frac{1 - \sqrt{101}}{10}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 5, \frac{1 + \sqrt{101}}{10}, \frac{1 - \sqrt{101}}{10}$

Dezimalform:

$x = 5, 1.10498756 \dots, - 0.90498756 \dots$

Schritt 11