Elementarmathematik Beispiele

$20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{5}, \pm \frac{1}{10}, \pm \frac{1}{20}$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$20 {(\frac{1}{2})}^{4} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = \frac{1}{2}$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$20 \frac{1^{4}}{2^{4}} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$20 \frac{1}{2^{4}} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4.1.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$20 (\frac{1}{16}) + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$4 (5) \frac{1}{16} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4.1.4.2

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$4 \cdot 5 \frac{1}{4 \cdot 4} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot 5 \frac{1}{4 \cdot 4} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$5 (\frac{1}{4}) + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4.1.5

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{4} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4.1.6

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{5}{4} + 52 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4.1.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{5}{4} + 52 \frac{1}{2^{3}} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4.1.8

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{5}{4} + 52 (\frac{1}{8}) - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4.1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.1.9.1

Faktorisiere $4$ aus $52$ heraus.

$\frac{5}{4} + 4 (13) \frac{1}{8} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4.1.9.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{5}{4} + 4 \cdot 13 \frac{1}{4 \cdot 2} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4.1.9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{4} + 4 \cdot 13 \frac{1}{4 \cdot 2} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4.1.9.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{4} + 13 (\frac{1}{2}) - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4.1.10

Kombiniere $13$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4.1.11

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - 45 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4.1.12

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - 45 \frac{1}{2^{2}} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4.1.13

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - 45 (\frac{1}{4}) + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4.1.14

Kombiniere $- 45$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} + \frac{- 45}{4} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4.1.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - \frac{45}{4} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 4.1.16

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - \frac{45}{4} + \frac{5}{2} + 1$

Schritt 4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 + \frac{5 - 45}{4} + \frac{13 + 5}{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $45$ von $5$ .

$1 + \frac{- 40}{4} + \frac{13 + 5}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $13$ und $5$ .

$1 + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2}$

Schritt 4.3

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{1}{1} + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2}$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2}$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $\frac{18}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $\frac{18}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18 \cdot 2}{4}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 - 40 + 18 \cdot 2}{4}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $18$ mit $2$ .

$\frac{4 - 40 + 36}{4}$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $40$ von $4$ .

$\frac{- 36 + 36}{4}$

Schritt 4.5.3

Addiere $- 36$ und $36$ .

$\frac{0}{4}$

Schritt 4.5.4

Dividiere $0$ durch $4$ .

$0$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - \frac{1}{2}$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1}{x - \frac{1}{2}}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(20)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$

	$20$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(20)$ mit dem Divisor $(\frac{1}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(10)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(52)$ .

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$
	$20$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$
	$20$	$62$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(62)$ mit dem Divisor $(\frac{1}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(31)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 45)$ .

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$
	$20$	$62$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$
	$20$	$62$	$- 14$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 14)$ mit dem Divisor $(\frac{1}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 7)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(5)$ .

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$	$- 7$
	$20$	$62$	$- 14$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$	$- 7$
	$20$	$62$	$- 14$	$- 2$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 2)$ mit dem Divisor $(\frac{1}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(1)$ .

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$	$- 7$	$- 1$
	$20$	$62$	$- 14$	$- 2$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$	$- 7$	$- 1$
	$20$	$62$	$- 14$	$- 2$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$20 x^{3} + 62 x^{2} + (- 14) x - 2$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$20 x^{3} + 62 x^{2} - 14 x - 2$

Schritt 7

Faktorisiere $2$ aus $20 x^{3} + 62 x^{2} - 14 x - 2$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $2$ aus $20 x^{3}$ heraus.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3}) + 62 x^{2} - 14 x - 2)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $2$ aus $62 x^{2}$ heraus.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3}) + 2 (31 x^{2}) - 14 x - 2)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $2$ aus $- 14 x$ heraus.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3}) + 2 (31 x^{2}) + 2 (- 7 x) - 2)$

Schritt 7.4

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3}) + 2 (31 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 (- 1))$

Schritt 7.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (10 x^{3}) + 2 (31 x^{2})$ heraus.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3} + 31 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 (- 1))$

Schritt 7.6

Faktorisiere $2$ aus $2 (10 x^{3} + 31 x^{2}) + 2 (- 7 x)$ heraus.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3} + 31 x^{2} - 7 x) + 2 (- 1))$

Schritt 7.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (10 x^{3} + 31 x^{2} - 7 x) + 2 (- 1)$ heraus.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3} + 31 x^{2} - 7 x - 1))$

Schritt 8

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 8.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Schritt 8.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.05, \pm 0.5, \pm 0.1, \pm 0.25, \pm 0.2$

Schritt 8.1.3

Setze $- 0.1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 0.1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 8.1.3.1

Setze $- 0.1$ in das Polynom ein.

$20 {(- 0.1)}^{4} + 52 {(- 0.1)}^{3} - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Schritt 8.1.3.2

Potenziere $- 0.1$ mit $4$ .

$20 \cdot 0.0001 + 52 {(- 0.1)}^{3} - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Schritt 8.1.3.3

Mutltipliziere $20$ mit $0.0001$ .

$0.002 + 52 {(- 0.1)}^{3} - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Schritt 8.1.3.4

Potenziere $- 0.1$ mit $3$ .

$0.002 + 52 \cdot - 0.001 - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Schritt 8.1.3.5

Mutltipliziere $52$ mit $- 0.001$ .

$0.002 - 0.052 - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Schritt 8.1.3.6

Subtrahiere $0.052$ von $0.002$ .

$- 0.05 - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Schritt 8.1.3.7

Potenziere $- 0.1$ mit $2$ .

$- 0.05 - 45 \cdot 0.01 + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Schritt 8.1.3.8

Mutltipliziere $- 45$ mit $0.01$ .

$- 0.05 - 0.45 + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Schritt 8.1.3.9

Subtrahiere $0.45$ von $- 0.05$ .

$- 0.5 + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Schritt 8.1.3.10

Mutltipliziere $5$ mit $- 0.1$ .

$- 0.5 - 0.5 + 1$

Schritt 8.1.3.11

Subtrahiere $0.5$ von $- 0.5$ .

$- 1 + 1$

Schritt 8.1.3.12

Addiere $- 1$ und $1$ .

$0$

Schritt 8.1.4

Da $- 0.1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $10 x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1}{10 x + 1}$

Schritt 8.1.5

Dividiere $20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1$ durch $10 x + 1$ .

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Schritt 8.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

Schritt 8.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $20 x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $10 x$ .

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

Schritt 8.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

Schritt 8.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $20 x^{4} + 2 x^{3}$

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

Schritt 8.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

Schritt 8.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

Schritt 8.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $50 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $10 x$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

Schritt 8.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

Schritt 8.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $50 x^{3} + 5 x^{2}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

Schritt 8.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

Schritt 8.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

Schritt 8.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 50 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $10 x$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

Schritt 8.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

Schritt 8.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 50 x^{2} - 5 x$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

Schritt 8.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

Schritt 8.1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

Schritt 8.1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $10 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $10 x$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

Schritt 8.1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$10 x$

$1$

Schritt 8.1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $10 x + 1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$10 x$

$1$

Schritt 8.1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$10 x$

$1$

$0$

Schritt 8.1.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$

Schritt 8.1.6

Schreibe $20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1$ als eine Menge von Faktoren.

$(10 x + 1) (2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1) = 0$

Schritt 8.2

Faktorisiere $2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Faktorisiere $2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 8.2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5$

Schritt 8.2.1.3

Setze $0.5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $0.5$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.3.1

Setze $0.5$ in das Polynom ein.

$2 \cdot {0.5}^{3} + 5 \cdot {0.5}^{2} - 5 \cdot 0.5 + 1$

Schritt 8.2.1.3.2

Potenziere $0.5$ mit $3$ .

$2 \cdot 0.125 + 5 \cdot {0.5}^{2} - 5 \cdot 0.5 + 1$

Schritt 8.2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $0.125$ .

$0.25 + 5 \cdot {0.5}^{2} - 5 \cdot 0.5 + 1$

Schritt 8.2.1.3.4

Potenziere $0.5$ mit $2$ .

$0.25 + 5 \cdot 0.25 - 5 \cdot 0.5 + 1$

Schritt 8.2.1.3.5

Mutltipliziere $5$ mit $0.25$ .

$0.25 + 1.25 - 5 \cdot 0.5 + 1$

Schritt 8.2.1.3.6

Addiere $0.25$ und $1.25$ .

$1.5 - 5 \cdot 0.5 + 1$

Schritt 8.2.1.3.7

Mutltipliziere $- 5$ mit $0.5$ .

$1.5 - 2.5 + 1$

Schritt 8.2.1.3.8

Subtrahiere $2.5$ von $1.5$ .

$- 1 + 1$

Schritt 8.2.1.3.9

Addiere $- 1$ und $1$ .

$0$

Schritt 8.2.1.4

Da $0.5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $2 x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1}{2 x - 1}$

Schritt 8.2.1.5

Dividiere $2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$ durch $2 x - 1$ .

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Schritt 8.2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

Schritt 8.2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$

Schritt 8.2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 8.2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 8.2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Schritt 8.2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$

Schritt 8.2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $6 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$

Schritt 8.2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 8.2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $6 x^{2} - 3 x$

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$

Schritt 8.2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$

Schritt 8.2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$

Schritt 8.2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$

Schritt 8.2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$
							-	$2 x$	+	$1$

Schritt 8.2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x + 1$

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$
							+	$2 x$	-	$1$

Schritt 8.2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$
							+	$2 x$	-	$1$
										$0$

Schritt 8.2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 3 x - 1$

Schritt 8.2.1.6

Schreibe $2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$ als eine Menge von Faktoren.

$(10 x + 1) ((2 x - 1) (x^{2} + 3 x - 1)) = 0$

Schritt 8.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(10 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 3 x - 1) = 0$

Schritt 9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$10 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x^{2} + 3 x - 1 = 0$

Schritt 10

Setze $10 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Setze $10 x + 1$ gleich $0$ .

$10 x + 1 = 0$

Schritt 10.2

Löse $10 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 x = - 1$

Schritt 10.2.2

Teile jeden Ausdruck in $10 x = - 1$ durch $10$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $10 x = - 1$ durch $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 1}{10}$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 1}{10}$

Schritt 10.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{10}$

Schritt 10.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{10}$

Schritt 11

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 11.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 11.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 11.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 11.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 12

Setze $x^{2} + 3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Setze $x^{2} + 3 x - 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + 3 x - 1 = 0$

Schritt 12.2

Löse $x^{2} + 3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 12.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 3$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.3.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.3.1.3

Addiere $9$ und $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Schritt 12.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.4.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.4.1.3

Addiere $9$ und $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Schritt 12.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 3 + \sqrt{13}}{2}$

Schritt 12.2.4.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{13}}{2}$

Schritt 12.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{13}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{13})}{2}$

Schritt 12.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{13})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (3 - \sqrt{13})}{2}$

Schritt 12.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

Schritt 12.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.5.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.5.1.3

Addiere $9$ und $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 12.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Schritt 12.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 3 - \sqrt{13}}{2}$

Schritt 12.2.5.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{13}}{2}$

Schritt 12.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{13}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{13})}{2}$

Schritt 12.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (\sqrt{13})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (3 + \sqrt{13})}{2}$

Schritt 12.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Schritt 12.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Schritt 13

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(10 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 3 x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{10}, \frac{1}{2}, - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{1}{10}, \frac{1}{2}, - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Dezimalform:

$x = - 0.1, 0.5, 0.30277563 \dots, - 3.30277563 \dots$

Schritt 15