Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + 14 x + 45$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(- 5)}^{2} + 14 (- 5) + 45$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = - 5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$25 + 14 (- 5) + 45$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $14$ mit $- 5$ .

$25 - 70 + 45$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $70$ von $25$ .

$- 45 + 45$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 45$ und $45$ .

$0$

Schritt 5

Da $- 5$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x + 5$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{2} + 14 x + 45}{x + 5}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 5$	$1$	$14$	$45$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 5$	$1$	$14$	$45$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 5)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 5)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(14)$ .

$- 5$	$1$	$14$	$45$
		$- 5$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 5$	$1$	$14$	$45$
		$- 5$
	$1$	$9$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(9)$ mit dem Divisor $(- 5)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 45)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(45)$ .

$- 5$	$1$	$14$	$45$
		$- 5$	$- 45$
	$1$	$9$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 5$	$1$	$14$	$45$
		$- 5$	$- 45$
	$1$	$9$	$0$

Schritt 6.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$(1) x + 9$

Schritt 6.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x + 9$

Schritt 7

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 9$

Schritt 8

Das Polynom kann als ein Satz Linearfaktoren geschrieben werden.

$(x + 5) (x + 9)$

Schritt 9

Das sind die Wurzeln des Polynoms $x^{2} + 14 x + 45$ .

$x = - 5, - 9$

Schritt 10