Elementarmathematik Beispiele

$t^{4} - 12 t^{2} + 27$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 27$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 27$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(3)}^{4} - 12 {(3)}^{2} + 27$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $t = 3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $3$ mit $4$ .

$81 - 12 {(3)}^{2} + 27$

Schritt 4.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$81 - 12 \cdot 9 + 27$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $9$ .

$81 - 108 + 27$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $108$ von $81$ .

$- 27 + 27$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 27$ und $27$ .

$0$

Schritt 5

Da $3$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $t - 3$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{t^{4} - 12 t^{2} + 27}{t - 3}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(3)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$
	$1$	$3$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(3)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(9)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$
	$1$	$3$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$
	$1$	$3$	$- 3$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 3)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 9)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$	$- 9$
	$1$	$3$	$- 3$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$	$- 9$
	$1$	$3$	$- 3$	$- 9$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 9)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 27)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(27)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$	$- 9$	$- 27$
	$1$	$3$	$- 3$	$- 9$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$	$- 9$	$- 27$
	$1$	$3$	$- 3$	$- 9$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 t^{3} + 3 t^{2} + (- 3) t - 9$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$t^{3} + 3 t^{2} - 3 t - 9$

Schritt 7

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(t - 3) (t^{3} + 3 t^{2}) - 3 t - 9$

Schritt 7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(t - 3) + t^{2} (t + 3) - 3 (t + 3)$

$(t - 3) t^{2} (t + 3) - 3 (t + 3)$

Schritt 8

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $t + 3$ .

$(t - 3) (t + 3) (t^{2} - 3)$

Schritt 9

Setze $u = t^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} - 12 u + 27 = 0$

$u = t^{2}$

Schritt 10

Faktorisiere $u^{2} - 12 u + 27$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 10.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $27$ und deren Summe $- 12$ ist.

$- 9, - 3$

Schritt 10.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 9) (u - 3) = 0$

Schritt 11

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 9 = 0$

$u - 3 = 0$

Schritt 12

Setze $u - 9$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $u - 9$ gleich $0$ .

$u - 9 = 0$

Schritt 12.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 9$

Schritt 13

Setze $u - 3$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $u - 3$ gleich $0$ .

$u - 3 = 0$

Schritt 13.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 3$

Schritt 14

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 9) (u - 3) = 0$ wahr machen.

$u = 9, 3$

Schritt 15

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = t^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$t^{2} = 9$

${(t^{2})}^{1} = 3$

Schritt 16

Löse die erste Gleichung nach $t$ auf.

$t^{2} = 9$

Schritt 17

Löse die Gleichung nach $t$ auf.

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Schritt 17.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{9}$

Schritt 17.2

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 17.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$t = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 17.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$t = \pm 3$

Schritt 17.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 17.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$t = 3$

Schritt 17.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$t = - 3$

Schritt 17.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$t = 3, - 3$

Schritt 18

Löse die zweite Gleichung nach $t$ auf.

${(t^{2})}^{1} = 3$

Schritt 19

Löse die Gleichung nach $t$ auf.

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Schritt 19.1

Entferne die Klammern.

$t^{2} = 3$

Schritt 19.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{3}$

Schritt 19.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 19.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$t = \sqrt{3}$

Schritt 19.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$t = - \sqrt{3}$

Schritt 19.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$t = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 20

Die Lösung von $t^{4} - 12 t^{2} + 27 = 0$ ist $t = 3, - 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$ .

$t = 3, - 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 21

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$t = 3, - 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Dezimalform:

$t = 3, - 3, 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots$

Schritt 22