Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + x - 42$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 7, \pm 14, \pm 21, \pm 42$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 7, \pm 14, \pm 21, \pm 42$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(6)}^{2} + 6 - 42$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 6$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Entferne die Klammern.

${(6)}^{2} + 6 - 42$

Schritt 4.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$36 + 6 - 42$

Schritt 4.3

Addiere $36$ und $6$ .

$42 - 42$

Schritt 4.4

Subtrahiere $42$ von $42$ .

$0$

Schritt 5

Da $6$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 6$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{2} + x - 42}{x - 6}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$6$	$1$	$1$	$- 42$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$6$	$1$	$1$	$- 42$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(6)$ und schreibe das Ergebnis von $(6)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(1)$ .

$6$	$1$	$1$	$- 42$
		$6$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$6$	$1$	$1$	$- 42$
		$6$
	$1$	$7$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(7)$ mit dem Divisor $(6)$ und schreibe das Ergebnis von $(42)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 42)$ .

$6$	$1$	$1$	$- 42$
		$6$	$42$
	$1$	$7$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$6$	$1$	$1$	$- 42$
		$6$	$42$
	$1$	$7$	$0$

Schritt 6.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$(1) x + 7$

Schritt 6.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x + 7$

Schritt 7

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 8

Das Polynom kann als ein Satz Linearfaktoren geschrieben werden.

$(x - 6) (x + 7)$

Schritt 9

Das sind die Wurzeln des Polynoms $x^{2} + x - 42$ .

$x = 6, - 7$

Schritt 10