Elementarmathematik Beispiele

$4 x^{8} - 13 x^{4} + 9$

Schritt 1

Schreibe $x^{8}$ als ${(x^{4})}^{2}$ um.

$4 {(x^{4})}^{2} - 13 x^{4} + 9$

Schritt 2

Es sei $u = x^{4}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{4}$ .

$4 u^{2} - 13 u + 9$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 9 = 36$ und deren Summe gleich $b = - 13$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 13$ aus $- 13 u$ heraus.

$4 u^{2} - 13 (u) + 9$

Schritt 3.1.2

Schreibe $- 13$ um als $- 4$ plus $- 9$

$4 u^{2} + (- 4 - 9) u + 9$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 u^{2} - 4 u - 9 u + 9$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(4 u^{2} - 4 u) - 9 u + 9$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$4 u (u - 1) - 9 (u - 1)$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $u - 1$ .

$(u - 1) (4 u - 9)$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $x^{4}$ .

$(x^{4} - 1) (4 x^{4} - 9)$

Schritt 5

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$({(x^{2})}^{2} - 1) (4 x^{4} - 9)$

Schritt 6

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) (4 x^{4} - 9)$

Schritt 7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 1$ .

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1) (4 x^{4} - 9)$

Schritt 8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}) (4 x^{4} - 9)$

Schritt 8.2

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1)) (4 x^{4} - 9)$

Schritt 8.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (4 x^{4} - 9)$

Schritt 9

Schreibe $4 x^{4}$ als ${(2 x^{2})}^{2}$ um.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) ({(2 x^{2})}^{2} - 9)$

Schritt 10

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) ({(2 x^{2})}^{2} - 3^{2})$

Schritt 11

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x^{2}$ und $b = 3$ .

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) ((2 x^{2} + 3) (2 x^{2} - 3))$

Schritt 11.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 3) (2 x^{2} - 3)$