Elementarmathematik Beispiele

$4 a^{2} c^{2} - {(a^{2} - b^{2} + c^{2})}^{2}$

Schritt 1

Schreibe $4 a^{2} c^{2}$ als ${(2 a c)}^{2}$ um.

${(2 a c)}^{2} - {(a^{2} - b^{2} + c^{2})}^{2}$

Schritt 2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 a c$ und $b = a^{2} - b^{2} + c^{2}$ .

$(2 a c + a^{2} - b^{2} + c^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe $2 a c + a^{2} - b^{2} + c^{2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 3.1.1

Gruppiere die Terme um.

$(- b^{2} + 2 a c + a^{2} + c^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.1.2.1

Ordne Terme um.

$(- b^{2} + a^{2} + 2 a c + c^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Schritt 3.1.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 a c = 2 \cdot a \cdot c$

Schritt 3.1.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$(- b^{2} + a^{2} + 2 \cdot a \cdot c + c^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Schritt 3.1.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = a$ und $b = c$ .

$(- b^{2} + {(a + c)}^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Schritt 3.1.3

Stelle $- b^{2}$ und ${(a + c)}^{2}$ um.

$({(a + c)}^{2} - b^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Schritt 3.1.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a + c$ und $b = b$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(a + c + b) (a + c - b) (2 a c - a^{2} - - b^{2} - c^{2})$

Schritt 3.3

Multipliziere $- - b^{2}$ .

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (2 a c - a^{2} + 1 b^{2} - c^{2})$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $b^{2}$ mit $1$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (2 a c - a^{2} + b^{2} - c^{2})$

Schritt 3.4

Faktorisiere.

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Schritt 3.4.1

Schreibe $2 a c - a^{2} + b^{2} - c^{2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 3.4.1.1

Gruppiere die Terme um.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} + 2 a c - a^{2} - c^{2})$

Schritt 3.4.1.2

Füge Klammern hinzu.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} + 2 (a c) - a^{2} - c^{2})$

Schritt 3.4.1.3

Es sei $u = a c$ . Ersetze $u$ für alle $a c$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} + 2 u - a^{2} - c^{2})$

Schritt 3.4.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $2 u - a^{2} - c^{2}$ heraus.

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Schritt 3.4.1.4.1

Bewege $2 u$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - a^{2} - c^{2} + 2 u)$

Schritt 3.4.1.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- a^{2}$ heraus.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2}) - c^{2} + 2 u)$

Schritt 3.4.1.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- c^{2}$ heraus.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2}) - (c^{2}) + 2 u)$

Schritt 3.4.1.4.4

Faktorisiere $- 1$ aus $2 u$ heraus.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2}) - (c^{2}) - (- 2 u))$

Schritt 3.4.1.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (a^{2}) - (c^{2})$ heraus.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} + c^{2}) - (- 2 u))$

Schritt 3.4.1.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (a^{2} + c^{2}) - (- 2 u)$ heraus.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} + c^{2} - 2 u))$

Schritt 3.4.1.5

Ersetze alle $u$ durch $a c$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} + c^{2} - 2 (a c)))$

Schritt 3.4.1.6

Entferne die Klammern.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} + c^{2} - 2 a c))$

Schritt 3.4.1.7

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.4.1.7.1

Ordne Terme um.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} - 2 a c + c^{2}))$

Schritt 3.4.1.7.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 a c = 2 \cdot a \cdot c$

Schritt 3.4.1.7.3

Schreibe das Polynom neu.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} - 2 \cdot a \cdot c + c^{2}))$

Schritt 3.4.1.7.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = a$ und $b = c$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - {(a - c)}^{2})$

Schritt 3.4.1.8

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = b$ und $b = a - c$ .

$(a + c + b) (a + c - b) ((b + a - c) (b - (a - c)))$

Schritt 3.4.1.9

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(a + c + b) (a + c - b) ((b + a - c) (b - a - - c))$

Schritt 3.4.1.9.2

Multipliziere $- - c$ .

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Schritt 3.4.1.9.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(a + c + b) (a + c - b) ((b + a - c) (b - a + 1 c))$

Schritt 3.4.1.9.2.2

Mutltipliziere $c$ mit $1$ .

$(a + c + b) (a + c - b) ((b + a - c) (b - a + c))$

Schritt 3.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(a + c + b) (a + c - b) (b + a - c) (b - a + c)$