Elementarmathematik Beispiele

$3 s^{3} - 4 s^{2} + 8 s + 8$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 8, \pm 2.\overline{6}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}$

Schritt 3

Setze $- 0.\overline{6}$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 0.\overline{6}$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 3.1

Setze $- 0.\overline{6}$ in das Polynom ein.

$3 {(- 0.\overline{6})}^{3} - 4 {(- 0.\overline{6})}^{2} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Schritt 3.2

Potenziere $- 0.\overline{6}$ mit $3$ .

$3 \cdot - 0.\overline{296} - 4 {(- 0.\overline{6})}^{2} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 0.\overline{296}$ .

$- 0.\overline{8} - 4 {(- 0.\overline{6})}^{2} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Schritt 3.4

Potenziere $- 0.\overline{6}$ mit $2$ .

$- 0.\overline{8} - 4 \cdot 0.\overline{4} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $0.\overline{4}$ .

$- 0.\overline{8} - 1.\overline{7} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Schritt 3.6

Subtrahiere $1.\overline{7}$ von $- 0.\overline{8}$ .

$- 2.\overline{6} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $8$ mit $- 0.\overline{6}$ .

$- 2.\overline{6} - 5.\overline{3} + 8$

Schritt 3.8

Subtrahiere $5.\overline{3}$ von $- 2.\overline{6}$ .

$- 8 + 8$

Schritt 3.9

Addiere $- 8$ und $8$ .

$0$

Schritt 4

Da $- 0.\overline{6}$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $3 s + 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{3 s^{3} - 4 s^{2} + 8 s + 8}{3 s + 2}$

Schritt 5

Dividiere $3 s^{3} - 4 s^{2} + 8 s + 8$ durch $3 s + 2$ .

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Schritt 5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$3 s$

$2$

$3 s^{3}$

$4 s^{2}$

$8 s$

$8$

Schritt 5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 s^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 s$ .

					$s^{2}$
	$3 s$	+	$2$		$3 s^{3}$	-	$4 s^{2}$	+	$8 s$	+	$8$

Schritt 5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$s^{2}$
$3 s$	+	$2$		$3 s^{3}$	-	$4 s^{2}$	+	$8 s$	+	$8$
			+	$3 s^{3}$	+	$2 s^{2}$

Schritt 5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 s^{3} + 2 s^{2}$

				$s^{2}$
$3 s$	+	$2$		$3 s^{3}$	-	$4 s^{2}$	+	$8 s$	+	$8$
			-	$3 s^{3}$	-	$2 s^{2}$

Schritt 5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$s^{2}$
$3 s$	+	$2$		$3 s^{3}$	-	$4 s^{2}$	+	$8 s$	+	$8$
			-	$3 s^{3}$	-	$2 s^{2}$
					-	$6 s^{2}$

Schritt 5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$s^{2}$
$3 s$	+	$2$		$3 s^{3}$	-	$4 s^{2}$	+	$8 s$	+	$8$
			-	$3 s^{3}$	-	$2 s^{2}$
					-	$6 s^{2}$	+	$8 s$

Schritt 5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 6 s^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 s$ .

				$s^{2}$	-	$2 s$
$3 s$	+	$2$		$3 s^{3}$	-	$4 s^{2}$	+	$8 s$	+	$8$
			-	$3 s^{3}$	-	$2 s^{2}$
					-	$6 s^{2}$	+	$8 s$

Schritt 5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$s^{2}$	-	$2 s$
$3 s$	+	$2$		$3 s^{3}$	-	$4 s^{2}$	+	$8 s$	+	$8$
			-	$3 s^{3}$	-	$2 s^{2}$
					-	$6 s^{2}$	+	$8 s$
					-	$6 s^{2}$	-	$4 s$

Schritt 5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 6 s^{2} - 4 s$

				$s^{2}$	-	$2 s$
$3 s$	+	$2$		$3 s^{3}$	-	$4 s^{2}$	+	$8 s$	+	$8$
			-	$3 s^{3}$	-	$2 s^{2}$
					-	$6 s^{2}$	+	$8 s$
					+	$6 s^{2}$	+	$4 s$

Schritt 5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$s^{2}$	-	$2 s$
$3 s$	+	$2$		$3 s^{3}$	-	$4 s^{2}$	+	$8 s$	+	$8$
			-	$3 s^{3}$	-	$2 s^{2}$
					-	$6 s^{2}$	+	$8 s$
					+	$6 s^{2}$	+	$4 s$
							+	$12 s$

Schritt 5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$s^{2}$	-	$2 s$
$3 s$	+	$2$		$3 s^{3}$	-	$4 s^{2}$	+	$8 s$	+	$8$
			-	$3 s^{3}$	-	$2 s^{2}$
					-	$6 s^{2}$	+	$8 s$
					+	$6 s^{2}$	+	$4 s$
							+	$12 s$	+	$8$

Schritt 5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $12 s$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 s$ .

				$s^{2}$	-	$2 s$	+	$4$
$3 s$	+	$2$		$3 s^{3}$	-	$4 s^{2}$	+	$8 s$	+	$8$
			-	$3 s^{3}$	-	$2 s^{2}$
					-	$6 s^{2}$	+	$8 s$
					+	$6 s^{2}$	+	$4 s$
							+	$12 s$	+	$8$

Schritt 5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$s^{2}$	-	$2 s$	+	$4$
$3 s$	+	$2$		$3 s^{3}$	-	$4 s^{2}$	+	$8 s$	+	$8$
			-	$3 s^{3}$	-	$2 s^{2}$
					-	$6 s^{2}$	+	$8 s$
					+	$6 s^{2}$	+	$4 s$
							+	$12 s$	+	$8$
							+	$12 s$	+	$8$

Schritt 5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $12 s + 8$

				$s^{2}$	-	$2 s$	+	$4$
$3 s$	+	$2$		$3 s^{3}$	-	$4 s^{2}$	+	$8 s$	+	$8$
			-	$3 s^{3}$	-	$2 s^{2}$
					-	$6 s^{2}$	+	$8 s$
					+	$6 s^{2}$	+	$4 s$
							+	$12 s$	+	$8$
							-	$12 s$	-	$8$

Schritt 5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$s^{2}$	-	$2 s$	+	$4$
$3 s$	+	$2$		$3 s^{3}$	-	$4 s^{2}$	+	$8 s$	+	$8$
			-	$3 s^{3}$	-	$2 s^{2}$
					-	$6 s^{2}$	+	$8 s$
					+	$6 s^{2}$	+	$4 s$
							+	$12 s$	+	$8$
							-	$12 s$	-	$8$
										$0$

Schritt 5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$s^{2} - 2 s + 4$

Schritt 6

Schreibe $3 s^{3} - 4 s^{2} + 8 s + 8$ als eine Menge von Faktoren.

$(3 s + 2) (s^{2} - 2 s + 4)$