Elementarmathematik Beispiele

$6 x^{3} - 11 x^{2} - 46 x - 24$

Schritt 1

Faktorisiere $6 x^{3} - 11 x^{2} - 46 x - 24$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{3}, \pm 24, \pm 4, \pm 12, \pm 8, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 6, \pm 3, \pm 1.5, \pm 1.\overline{3}, \pm 2.\overline{6}$

Schritt 1.3

Setze $- 0.\overline{6}$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 0.\overline{6}$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.3.1

Setze $- 0.\overline{6}$ in das Polynom ein.

$6 {(- 0.\overline{6})}^{3} - 11 {(- 0.\overline{6})}^{2} - 46 \cdot - 0.\overline{6} - 24$

Schritt 1.3.2

Potenziere $- 0.\overline{6}$ mit $3$ .

$6 \cdot - 0.\overline{296} - 11 {(- 0.\overline{6})}^{2} - 46 \cdot - 0.\overline{6} - 24$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 0.\overline{296}$ .

$- 1.\overline{7} - 11 {(- 0.\overline{6})}^{2} - 46 \cdot - 0.\overline{6} - 24$

Schritt 1.3.4

Potenziere $- 0.\overline{6}$ mit $2$ .

$- 1.\overline{7} - 11 \cdot 0.\overline{4} - 46 \cdot - 0.\overline{6} - 24$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $- 11$ mit $0.\overline{4}$ .

$- 1.\overline{7} - 4.\overline{8} - 46 \cdot - 0.\overline{6} - 24$

Schritt 1.3.6

Subtrahiere $4.\overline{8}$ von $- 1.\overline{7}$ .

$- 6.\overline{6} - 46 \cdot - 0.\overline{6} - 24$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $- 46$ mit $- 0.\overline{6}$ .

$- 6.\overline{6} + 30.\overline{6} - 24$

Schritt 1.3.8

Addiere $- 6.\overline{6}$ und $30.\overline{6}$ .

$24 - 24$

Schritt 1.3.9

Subtrahiere $24$ von $24$ .

$0$

Schritt 1.4

Da $- 0.\overline{6}$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $3 x + 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{6 x^{3} - 11 x^{2} - 46 x - 24}{3 x + 2}$

Schritt 1.5

Dividiere $6 x^{3} - 11 x^{2} - 46 x - 24$ durch $3 x + 2$ .

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Schritt 1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$3 x$

$2$

$6 x^{3}$

$11 x^{2}$

$46 x$

$24$

Schritt 1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $6 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

					$2 x^{2}$
	$3 x$	+	$2$		$6 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$46 x$	-	$24$

Schritt 1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$6 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$46 x$	-	$24$
			+	$6 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Schritt 1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $6 x^{3} + 4 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$6 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$46 x$	-	$24$
			-	$6 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Schritt 1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$6 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$46 x$	-	$24$
			-	$6 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$

Schritt 1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$6 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$46 x$	-	$24$
			-	$6 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$46 x$

Schritt 1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 15 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$2$		$6 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$46 x$	-	$24$
			-	$6 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$46 x$

Schritt 1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$2$		$6 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$46 x$	-	$24$
			-	$6 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$46 x$
					-	$15 x^{2}$	-	$10 x$

Schritt 1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 15 x^{2} - 10 x$

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$2$		$6 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$46 x$	-	$24$
			-	$6 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$46 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$10 x$

Schritt 1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$2$		$6 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$46 x$	-	$24$
			-	$6 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$46 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$36 x$

Schritt 1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$2$		$6 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$46 x$	-	$24$
			-	$6 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$46 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$36 x$	-	$24$

Schritt 1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 36 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$12$
$3 x$	+	$2$		$6 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$46 x$	-	$24$
			-	$6 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$46 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$36 x$	-	$24$

Schritt 1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$12$
$3 x$	+	$2$		$6 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$46 x$	-	$24$
			-	$6 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$46 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$36 x$	-	$24$
							-	$36 x$	-	$24$

Schritt 1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 36 x - 24$

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$12$
$3 x$	+	$2$		$6 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$46 x$	-	$24$
			-	$6 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$46 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$36 x$	-	$24$
							+	$36 x$	+	$24$

Schritt 1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$12$
$3 x$	+	$2$		$6 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$46 x$	-	$24$
			-	$6 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$46 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$36 x$	-	$24$
							+	$36 x$	+	$24$
										$0$

Schritt 1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$2 x^{2} - 5 x - 12$

Schritt 1.6

Schreibe $6 x^{3} - 11 x^{2} - 46 x - 24$ als eine Menge von Faktoren.

$(3 x + 2) (2 x^{2} - 5 x - 12)$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 12 = - 24$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 x$ heraus.

$(3 x + 2) (2 x^{2} - 5 (x) - 12)$

Schritt 2.1.1.2

Schreibe $- 5$ um als $3$ plus $- 8$

$(3 x + 2) (2 x^{2} + (3 - 8) x - 12)$

Schritt 2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x + 2) (2 x^{2} + 3 x - 8 x - 12)$

Schritt 2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x + 2) ((2 x^{2} + 3 x) - 8 x - 12)$

Schritt 2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(3 x + 2) (x (2 x + 3) - 4 (2 x + 3))$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 3$ .

$(3 x + 2) ((2 x + 3) (x - 4))$

Schritt 2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(3 x + 2) (2 x + 3) (x - 4)$