Elementarmathematik Beispiele

$64 x^{3} y^{6} - 27 z^{9} w^{3}$

Schritt 1

Schreibe $64 x^{3} y^{6}$ als ${(4 x y^{2})}^{3}$ um.

${(4 x y^{2})}^{3} - 27 z^{9} w^{3}$

Schritt 2

Schreibe $27 z^{9} w^{3}$ als ${(3 z^{3} w)}^{3}$ um.

${(4 x y^{2})}^{3} - {(3 z^{3} w)}^{3}$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 4 x y^{2}$ und $b = 3 z^{3} w$ .

$(4 x y^{2} - (3 z^{3} w)) ({(4 x y^{2})}^{2} + 4 x y^{2} (3 z^{3} w) + {(3 z^{3} w)}^{2})$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$(4 x y^{2} - 3 (z^{3} w)) ({(4 x y^{2})}^{2} + 4 x y^{2} (3 z^{3} w) + {(3 z^{3} w)}^{2})$

Schritt 4.2

Entferne die Klammern.

$(4 x y^{2} - 3 z^{3} w) ({(4 x y^{2})}^{2} + 4 x y^{2} (3 z^{3} w) + {(3 z^{3} w)}^{2})$

Schritt 4.3

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.3.1

Wende die Produktregel auf $4 x y^{2}$ an.

$(4 x y^{2} - 3 z^{3} w) ({(4 x)}^{2} {(y^{2})}^{2} + 4 x y^{2} (3 z^{3} w) + {(3 z^{3} w)}^{2})$

Schritt 4.3.2

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$(4 x y^{2} - 3 z^{3} w) (4^{2} x^{2} {(y^{2})}^{2} + 4 x y^{2} (3 z^{3} w) + {(3 z^{3} w)}^{2})$

Schritt 4.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$(4 x y^{2} - 3 z^{3} w) (16 x^{2} {(y^{2})}^{2} + 4 x y^{2} (3 z^{3} w) + {(3 z^{3} w)}^{2})$

Schritt 4.5

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(4 x y^{2} - 3 z^{3} w) (16 x^{2} y^{2 \cdot 2} + 4 x y^{2} (3 z^{3} w) + {(3 z^{3} w)}^{2})$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(4 x y^{2} - 3 z^{3} w) (16 x^{2} y^{4} + 4 x y^{2} (3 z^{3} w) + {(3 z^{3} w)}^{2})$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$(4 x y^{2} - 3 z^{3} w) (16 x^{2} y^{4} + 12 x y^{2} (z^{3} w) + {(3 z^{3} w)}^{2})$

Schritt 4.7

Entferne die Klammern.

$(4 x y^{2} - 3 z^{3} w) (16 x^{2} y^{4} + 12 x y^{2} z^{3} w + {(3 z^{3} w)}^{2})$

Schritt 4.8

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.8.1

Wende die Produktregel auf $3 z^{3} w$ an.

$(4 x y^{2} - 3 z^{3} w) (16 x^{2} y^{4} + 12 x y^{2} z^{3} w + {(3 z^{3})}^{2} w^{2})$

Schritt 4.8.2

Wende die Produktregel auf $3 z^{3}$ an.

$(4 x y^{2} - 3 z^{3} w) (16 x^{2} y^{4} + 12 x y^{2} z^{3} w + 3^{2} {(z^{3})}^{2} w^{2})$

Schritt 4.9

Potenziere $3$ mit $2$ .

$(4 x y^{2} - 3 z^{3} w) (16 x^{2} y^{4} + 12 x y^{2} z^{3} w + 9 {(z^{3})}^{2} w^{2})$

Schritt 4.10

Multipliziere die Exponenten in ${(z^{3})}^{2}$ .

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Schritt 4.10.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(4 x y^{2} - 3 z^{3} w) (16 x^{2} y^{4} + 12 x y^{2} z^{3} w + 9 z^{3 \cdot 2} w^{2})$

Schritt 4.10.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$(4 x y^{2} - 3 z^{3} w) (16 x^{2} y^{4} + 12 x y^{2} z^{3} w + 9 z^{6} w^{2})$