Elementarmathematik Beispiele

$7 x^{4} + 6 x^{3} - 92 x^{2} - 78 x + 13$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$6 x^{3} - 78 x + 7 x^{4} - 92 x^{2} + 13$

Schritt 2

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x^{3} - 78 x$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x^{3}$ heraus.

$6 x (x^{2}) - 78 x + 7 x^{4} - 92 x^{2} + 13$

Schritt 2.2

Faktorisiere $6 x$ aus $- 78 x$ heraus.

$6 x (x^{2}) + 6 x (- 13) + 7 x^{4} - 92 x^{2} + 13$

Schritt 2.3

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x (x^{2}) + 6 x (- 13)$ heraus.

$6 x (x^{2} - 13) + 7 x^{4} - 92 x^{2} + 13$

Schritt 3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$6 x (x^{2} - 13) + 7 {(x^{2})}^{2} - 92 x^{2} + 13$

Schritt 4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$6 x (x^{2} - 13) + 7 u^{2} - 92 u + 13$

Schritt 5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 7 \cdot 13 = 91$ und deren Summe gleich $b = - 92$ ist.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $- 92$ aus $- 92 u$ heraus.

$6 x (x^{2} - 13) + 7 u^{2} - 92 (u) + 13$

Schritt 5.1.2

Schreibe $- 92$ um als $- 1$ plus $- 91$

$6 x (x^{2} - 13) + 7 u^{2} + (- 1 - 91) u + 13$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x (x^{2} - 13) + 7 u^{2} - 1 u - 91 u + 13$

Schritt 5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$6 x (x^{2} - 13) + (7 u^{2} - 1 u) - 91 u + 13$

Schritt 5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$6 x (x^{2} - 13) + u (7 u - 1) - 13 (7 u - 1)$

Schritt 5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $7 u - 1$ .

$6 x (x^{2} - 13) + (7 u - 1) (u - 13)$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$6 x (x^{2} - 13) + (7 x^{2} - 1) (x^{2} - 13)$

Schritt 7

Faktorisiere $x^{2} - 13$ aus $6 x (x^{2} - 13) + (7 x^{2} - 1) (x^{2} - 13)$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x^{2} - 13$ aus $6 x (x^{2} - 13)$ heraus.

$(x^{2} - 13) (6 x) + (7 x^{2} - 1) (x^{2} - 13)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $x^{2} - 13$ aus $(7 x^{2} - 1) (x^{2} - 13)$ heraus.

$(x^{2} - 13) (6 x) + (x^{2} - 13) (7 x^{2} - 1)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $x^{2} - 13$ aus $(x^{2} - 13) (6 x) + (x^{2} - 13) (7 x^{2} - 1)$ heraus.

$(x^{2} - 13) (6 x + 7 x^{2} - 1)$

Schritt 8

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x^{2} - 13) (6 u + 7 u^{2} - 1)$

Schritt 9

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 9.1

Stelle die Terme um.

$(x^{2} - 13) (7 u^{2} + 6 u - 1)$

Schritt 9.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 7 \cdot - 1 = - 7$ und deren Summe gleich $b = 6$ ist.

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 u$ heraus.

$(x^{2} - 13) (7 u^{2} + 6 (u) - 1)$

Schritt 9.2.2

Schreibe $6$ um als $- 1$ plus $7$

$(x^{2} - 13) (7 u^{2} + (- 1 + 7) u - 1)$

Schritt 9.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} - 13) (7 u^{2} - 1 u + 7 u - 1)$

Schritt 9.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 9.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{2} - 13) ((7 u^{2} - 1 u) + 7 u - 1)$

Schritt 9.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x^{2} - 13) (u (7 u - 1) + 1 (7 u - 1))$

Schritt 9.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $7 u - 1$ .

$(x^{2} - 13) ((7 u - 1) (u + 1))$

Schritt 10

Faktorisiere.

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Schritt 10.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x^{2} - 13) ((7 x - 1) (x + 1))$

Schritt 10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} - 13) (7 x - 1) (x + 1)$