Elementarmathematik Beispiele

$3 x^{2} {(4 x - 12)}^{2} + x^{3} (2) (4 x - 12) (4)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(4 x - 12)}^{2}$ als $(4 x - 12) (4 x - 12)$ um.

$3 x^{2} ((4 x - 12) (4 x - 12)) + x^{3} (2) (4 x - 12) (4)$

Schritt 1.2

Multipliziere $(4 x - 12) (4 x - 12)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} (4 x (4 x - 12) - 12 (4 x - 12)) + x^{3} (2) (4 x - 12) (4)$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} (4 x (4 x) + 4 x \cdot - 12 - 12 (4 x - 12)) + x^{3} (2) (4 x - 12) (4)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} (4 x (4 x) + 4 x \cdot - 12 - 12 (4 x) - 12 \cdot - 12) + x^{3} (2) (4 x - 12) (4)$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x^{2} (4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 12 - 12 (4 x) - 12 \cdot - 12) + x^{3} (2) (4 x - 12) (4)$

Schritt 1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$3 x^{2} (4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 12 - 12 (4 x) - 12 \cdot - 12) + x^{3} (2) (4 x - 12) (4)$

Schritt 1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x^{2} (4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot - 12 - 12 (4 x) - 12 \cdot - 12) + x^{3} (2) (4 x - 12) (4)$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$3 x^{2} (16 x^{2} + 4 x \cdot - 12 - 12 (4 x) - 12 \cdot - 12) + x^{3} (2) (4 x - 12) (4)$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $4$ .

$3 x^{2} (16 x^{2} - 48 x - 12 (4 x) - 12 \cdot - 12) + x^{3} (2) (4 x - 12) (4)$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 12$ .

$3 x^{2} (16 x^{2} - 48 x - 48 x - 12 \cdot - 12) + x^{3} (2) (4 x - 12) (4)$

Schritt 1.3.1.6

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 12$ .

$3 x^{2} (16 x^{2} - 48 x - 48 x + 144) + x^{3} (2) (4 x - 12) (4)$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $48 x$ von $- 48 x$ .

$3 x^{2} (16 x^{2} - 96 x + 144) + x^{3} (2) (4 x - 12) (4)$

Schritt 1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} (16 x^{2}) + 3 x^{2} (- 96 x) + 3 x^{2} \cdot 144 + x^{3} (2) (4 x - 12) (4)$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \cdot 16 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} (- 96 x) + 3 x^{2} \cdot 144 + x^{3} (2) (4 x - 12) (4)$

Schritt 1.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \cdot 16 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 96 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 144 + x^{3} (2) (4 x - 12) (4)$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $144$ mit $3$ .

$3 \cdot 16 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 96 x^{2} x + 432 x^{2} + x^{3} (2) (4 x - 12) (4)$

Schritt 1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$3 \cdot 16 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot - 96 x^{2} x + 432 x^{2} + x^{3} (2) (4 x - 12) (4)$

Schritt 1.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 \cdot 16 x^{2 + 2} + 3 \cdot - 96 x^{2} x + 432 x^{2} + x^{3} (2) (4 x - 12) (4)$

Schritt 1.6.1.3

Addiere $2$ und $2$ .

$3 \cdot 16 x^{4} + 3 \cdot - 96 x^{2} x + 432 x^{2} + x^{3} (2) (4 x - 12) (4)$

Schritt 1.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$48 x^{4} + 3 \cdot - 96 x^{2} x + 432 x^{2} + x^{3} (2) (4 x - 12) (4)$

Schritt 1.6.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.3.1

Bewege $x$ .

$48 x^{4} + 3 \cdot - 96 (x \cdot x^{2}) + 432 x^{2} + x^{3} (2) (4 x - 12) (4)$

Schritt 1.6.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.6.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$48 x^{4} + 3 \cdot - 96 (x^{1} x^{2}) + 432 x^{2} + x^{3} (2) (4 x - 12) (4)$

Schritt 1.6.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$48 x^{4} + 3 \cdot - 96 x^{1 + 2} + 432 x^{2} + x^{3} (2) (4 x - 12) (4)$

Schritt 1.6.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$48 x^{4} + 3 \cdot - 96 x^{3} + 432 x^{2} + x^{3} (2) (4 x - 12) (4)$

Schritt 1.6.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 96$ .

$48 x^{4} - 288 x^{3} + 432 x^{2} + x^{3} (2) (4 x - 12) (4)$

Schritt 1.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$48 x^{4} - 288 x^{3} + 432 x^{2} + 2 \cdot x^{3} (4 x - 12) \cdot 4$

Schritt 1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$48 x^{4} - 288 x^{3} + 432 x^{2} + (2 x^{3} (4 x) + 2 x^{3} \cdot - 12) \cdot 4$

Schritt 1.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$48 x^{4} - 288 x^{3} + 432 x^{2} + (2 \cdot 4 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot - 12) \cdot 4$

Schritt 1.10

Mutltipliziere $- 12$ mit $2$ .

$48 x^{4} - 288 x^{3} + 432 x^{2} + (2 \cdot 4 x^{3} x - 24 x^{3}) \cdot 4$

Schritt 1.11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.11.1

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.11.1.1

Bewege $x$ .

$48 x^{4} - 288 x^{3} + 432 x^{2} + (2 \cdot 4 (x \cdot x^{3}) - 24 x^{3}) \cdot 4$

Schritt 1.11.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 1.11.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$48 x^{4} - 288 x^{3} + 432 x^{2} + (2 \cdot 4 (x^{1} x^{3}) - 24 x^{3}) \cdot 4$

Schritt 1.11.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$48 x^{4} - 288 x^{3} + 432 x^{2} + (2 \cdot 4 x^{1 + 3} - 24 x^{3}) \cdot 4$

Schritt 1.11.1.3

Addiere $1$ und $3$ .

$48 x^{4} - 288 x^{3} + 432 x^{2} + (2 \cdot 4 x^{4} - 24 x^{3}) \cdot 4$

Schritt 1.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$48 x^{4} - 288 x^{3} + 432 x^{2} + (8 x^{4} - 24 x^{3}) \cdot 4$

Schritt 1.12

Wende das Distributivgesetz an.

$48 x^{4} - 288 x^{3} + 432 x^{2} + 8 x^{4} \cdot 4 - 24 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.13

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$48 x^{4} - 288 x^{3} + 432 x^{2} + 32 x^{4} - 24 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.14

Mutltipliziere $4$ mit $- 24$ .

$48 x^{4} - 288 x^{3} + 432 x^{2} + 32 x^{4} - 96 x^{3}$

Schritt 2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.1

Addiere $48 x^{4}$ und $32 x^{4}$ .

$80 x^{4} - 288 x^{3} + 432 x^{2} - 96 x^{3}$

Schritt 2.2

Subtrahiere $96 x^{3}$ von $- 288 x^{3}$ .

$80 x^{4} - 384 x^{3} + 432 x^{2}$

Schritt 3

Klammere den ggT $16 x^{2}$ aus $80 x^{4} - 384 x^{3} + 432 x^{2}$ aus.

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Schritt 3.1

Klammere den ggT $16 x^{2}$ aus jedem Term des Polynoms aus.

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Schritt 3.1.1

Klammere den ggT $16 x^{2}$ aus dem Ausdruck $80 x^{4}$ aus.

$16 x^{2} (5 x^{2}) - 384 x^{3} + 432 x^{2}$

Schritt 3.1.2

Klammere den ggT $16 x^{2}$ aus dem Ausdruck $- 384 x^{3}$ aus.

$16 x^{2} (5 x^{2}) + 16 x^{2} (- 24 x) + 432 x^{2}$

Schritt 3.1.3

Klammere den ggT $16 x^{2}$ aus dem Ausdruck $432 x^{2}$ aus.

$16 x^{2} (5 x^{2}) + 16 x^{2} (- 24 x) + 16 x^{2} (27)$

Schritt 3.2

Da alle Terme einen gemeinsamen Faktor $16 x^{2}$ besitzen, kann dieser aus jedem Term herausfaktorisiert werden.

$16 x^{2} (5 x^{2} - 24 x + 27)$

Schritt 4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot 27 = 135$ und deren Summe gleich $b = - 24$ ist.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $- 24$ aus $- 24 x$ heraus.

$16 x^{2} (5 x^{2} - 24 x + 27)$

Schritt 4.1.2

Schreibe $- 24$ um als $- 9$ plus $- 15$

$16 x^{2} (5 x^{2} + (- 9 - 15) x + 27)$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$16 x^{2} (5 x^{2} - 9 x - 15 x + 27)$

Schritt 4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$16 x^{2} ((5 x^{2} - 9 x) - 15 x + 27)$

Schritt 4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$16 x^{2} (x (5 x - 9) - 3 (5 x - 9))$

Schritt 4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x - 9$ .

$16 x^{2} ((5 x - 9) (x - 3))$