Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{4} - 15 x^{2} - 16$

Schritt 1

Setze $x^{4} - 15 x^{2} - 16$ gleich $0$ .

$x^{4} - 15 x^{2} - 16 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} - 15 u - 16 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $u^{2} - 15 u - 16$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 16$ und deren Summe $- 15$ ist.

$- 16, 1$

Schritt 2.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 16) (u + 1) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 16 = 0$

$u + 1 = 0$

Schritt 2.4

Setze $u - 16$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $u - 16$ gleich $0$ .

$u - 16 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 16$

Schritt 2.5

Setze $u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $u + 1$ gleich $0$ .

$u + 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 1$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 16) (u + 1) = 0$ wahr machen.

$u = 16, - 1$

Schritt 2.7

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 16$

${(x^{2})}^{1} = - 1$

Schritt 2.8

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 16$

Schritt 2.9

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Schritt 2.9.2

Vereinfache $\pm \sqrt{16}$ .

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Schritt 2.9.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Schritt 2.9.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 4$

Schritt 2.9.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.9.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 4$

Schritt 2.9.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 4$

Schritt 2.9.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4, - 4$

Schritt 2.10

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = - 1$

Schritt 2.11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.11.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = - 1$

Schritt 2.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 2.11.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 2.11.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.11.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 2.11.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 2.11.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 2.12

Die Lösung von $x^{4} - 15 x^{2} - 16 = 0$ ist $x = 4, - 4, i, - i$ .

$x = 4, - 4, i, - i$

Schritt 3