Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = - x^{6} + 3 x^{4} + 4 x^{2}$

Schritt 1

Setze $- x^{6} + 3 x^{4} + 4 x^{2}$ gleich $0$ .

$- x^{6} + 3 x^{4} + 4 x^{2} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $- x^{2}$ aus $- x^{6} + 3 x^{4} + 4 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $- x^{2}$ aus $- x^{6}$ heraus.

$- x^{2} x^{4} + 3 x^{4} + 4 x^{2} = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $- x^{2}$ aus $3 x^{4}$ heraus.

$- x^{2} x^{4} - x^{2} (- 3 x^{2}) + 4 x^{2} = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $- x^{2}$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$- x^{2} x^{4} - x^{2} (- 3 x^{2}) - x^{2} \cdot - 4 = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere $- x^{2}$ aus $- x^{2} (x^{4}) - x^{2} (- 3 x^{2})$ heraus.

$- x^{2} (x^{4} - 3 x^{2}) - x^{2} \cdot - 4 = 0$

Schritt 2.1.1.5

Faktorisiere $- x^{2}$ aus $- x^{2} (x^{4} - 3 x^{2}) - x^{2} (- 4)$ heraus.

$- x^{2} (x^{4} - 3 x^{2} - 4) = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} - 4) = 0$

Schritt 2.1.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- x^{2} (u^{2} - 3 u - 4) = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $u^{2} - 3 u - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 4, 1$

Schritt 2.1.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- x^{2} ((u - 4) (u + 1)) = 0$

Schritt 2.1.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- x^{2} ((x^{2} - 4) (x^{2} + 1)) = 0$

Schritt 2.1.6

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- x^{2} ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 1)) = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.7.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$- x^{2} ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)) = 0$

Schritt 2.1.7.2

Entferne unnötige Klammern.

$- x^{2} (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.6

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 2.6.2

Löse $x^{2} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 2.6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 2.6.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 2.6.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.6.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 2.6.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 2.6.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- x^{2} (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 2, 2, i, - i$

Schritt 3