Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 3 x^{3} - 13 x^{2} - 59 x + 21$

Schritt 1

Setze $3 x^{3} - 13 x^{2} - 59 x + 21$ gleich $0$ .

$3 x^{3} - 13 x^{2} - 59 x + 21 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $3 x^{3} - 13 x^{2} - 59 x + 21$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 21, \pm 3, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 3$

Schritt 2.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 21, \pm 7, \pm 3, \pm 2.\overline{3}$

Schritt 2.1.1.3

Setze $0.\overline{3}$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $0.\overline{3}$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze $0.\overline{3}$ in das Polynom ein.

$3 \cdot {0.\overline{3}}^{3} - 13 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 59 \cdot 0.\overline{3} + 21$

Schritt 2.1.1.3.2

Potenziere $0.\overline{3}$ mit $3$ .

$3 \cdot 0.\overline{037} - 13 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 59 \cdot 0.\overline{3} + 21$

Schritt 2.1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $0.\overline{037}$ .

$0.\overline{1} - 13 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 59 \cdot 0.\overline{3} + 21$

Schritt 2.1.1.3.4

Potenziere $0.\overline{3}$ mit $2$ .

$0.\overline{1} - 13 \cdot 0.\overline{1} - 59 \cdot 0.\overline{3} + 21$

Schritt 2.1.1.3.5

Mutltipliziere $- 13$ mit $0.\overline{1}$ .

$0.\overline{1} - 1.\overline{4} - 59 \cdot 0.\overline{3} + 21$

Schritt 2.1.1.3.6

Subtrahiere $1.\overline{4}$ von $0.\overline{1}$ .

$- 1.\overline{3} - 59 \cdot 0.\overline{3} + 21$

Schritt 2.1.1.3.7

Mutltipliziere $- 59$ mit $0.\overline{3}$ .

$- 1.\overline{3} - 19.\overline{6} + 21$

Schritt 2.1.1.3.8

Subtrahiere $19.\overline{6}$ von $- 1.\overline{3}$ .

$- 21 + 21$

Schritt 2.1.1.3.9

Addiere $- 21$ und $21$ .

$0$

Schritt 2.1.1.4

Da $0.\overline{3}$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $3 x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{3 x^{3} - 13 x^{2} - 59 x + 21}{3 x - 1}$

Schritt 2.1.1.5

Dividiere $3 x^{3} - 13 x^{2} - 59 x + 21$ durch $3 x - 1$ .

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Schritt 2.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$3 x$

$1$

$3 x^{3}$

$13 x^{2}$

$59 x$

$21$

Schritt 2.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

					$x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	-	$59 x$	+	$21$

Schritt 2.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	-	$59 x$	+	$21$
			+	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	-	$59 x$	+	$21$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	-	$59 x$	+	$21$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	-	$59 x$	+	$21$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$59 x$

Schritt 2.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 12 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	-	$59 x$	+	$21$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$59 x$

Schritt 2.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	-	$59 x$	+	$21$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$59 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$4 x$

Schritt 2.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 12 x^{2} + 4 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	-	$59 x$	+	$21$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$59 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$4 x$

Schritt 2.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	-	$59 x$	+	$21$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$59 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$63 x$

Schritt 2.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	-	$59 x$	+	$21$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$59 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$63 x$	+	$21$

Schritt 2.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 63 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$21$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	-	$59 x$	+	$21$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$59 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$63 x$	+	$21$

Schritt 2.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$21$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	-	$59 x$	+	$21$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$59 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$63 x$	+	$21$
							-	$63 x$	+	$21$

Schritt 2.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 63 x + 21$

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$21$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	-	$59 x$	+	$21$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$59 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$63 x$	+	$21$
							+	$63 x$	-	$21$

Schritt 2.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$21$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	-	$59 x$	+	$21$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$59 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$63 x$	+	$21$
							+	$63 x$	-	$21$
										$0$

Schritt 2.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 4 x - 21$

Schritt 2.1.1.6

Schreibe $3 x^{3} - 13 x^{2} - 59 x + 21$ als eine Menge von Faktoren.

$(3 x - 1) (x^{2} - 4 x - 21) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x^{2} - 4 x - 21$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 4 x - 21$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 21$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 7, 3$

Schritt 2.1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(3 x - 1) ((x - 7) (x + 3)) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(3 x - 1) (x - 7) (x + 3) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 7 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 2.3

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1$

Schritt 2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 2.4

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 2.5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x - 1) (x - 7) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{3}, 7, - 3$

Schritt 3