Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 4 x^{2} - 2 x + 1$

Schritt 1

Setze $4 x^{2} - 2 x + 1$ gleich $0$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.2

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 2$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.3.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 3