Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{4 x - x^{2}}$

Schritt 1

Setze $\sqrt{4 x - x^{2}}$ gleich $0$ .

$\sqrt{4 x - x^{2}} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{4 x - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 x - x^{2}}$ als ${(4 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(4 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache ${({(4 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(4 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(4 x - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Vereinfache.

$4 x - x^{2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 x - x^{2} = 0$

Schritt 2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$4 u - u^{2} = 0$

Schritt 2.3.1.2

Faktorisiere $u$ aus $4 u - u^{2}$ heraus.

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $u$ aus $4 u$ heraus.

$u \cdot 4 - u^{2} = 0$

Schritt 2.3.1.2.2

Faktorisiere $u$ aus $- u^{2}$ heraus.

$u \cdot 4 + u (- u) = 0$

Schritt 2.3.1.2.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot 4 + u (- u)$ heraus.

$u (4 - u) = 0$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$x (4 - x) = 0$

Schritt 2.3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$4 - x = 0$

Schritt 2.3.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.3.4

Setze $4 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.4.1

Setze $4 - x$ gleich $0$ .

$4 - x = 0$

Schritt 2.3.4.2

Löse $4 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.4.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 4$

Schritt 2.3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 2.3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 2.3.4.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 2.3.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.4.2.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$x = 4$

Schritt 2.3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (4 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 4$

Schritt 3