Elementarmathematik Beispiele

$P (x) = 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} + 64 x - 32$

Schritt 1

Setze $2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} + 64 x - 32$ gleich $0$ .

$2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} + 64 x - 32 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$64 x - 32 + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $32$ aus $64 x - 32$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $32$ aus $64 x$ heraus.

$32 (2 x) - 32 + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $32$ aus $- 32$ heraus.

$32 (2 x) + 32 (- 1) + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $32$ aus $32 (2 x) + 32 (- 1)$ heraus.

$32 (2 x - 1) + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{4}$ heraus.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

Schritt 2.1.3.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 13 x^{3}$ heraus.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x) + 6 x^{2} = 0$

Schritt 2.1.3.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x) + x^{2} \cdot 6 = 0$

Schritt 2.1.3.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x)$ heraus.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x) + x^{2} \cdot 6 = 0$

Schritt 2.1.3.5

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (2 x^{2} - 13 x) + x^{2} \cdot 6$ heraus.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x + 6) = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.4.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.4.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ und deren Summe gleich $b = - 13$ ist.

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Schritt 2.1.4.1.1.1

Faktorisiere $- 13$ aus $- 13 x$ heraus.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x + 6) = 0$

Schritt 2.1.4.1.1.2

Schreibe $- 13$ um als $- 1$ plus $- 12$

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} + (- 1 - 12) x + 6) = 0$

Schritt 2.1.4.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 1 x - 12 x + 6) = 0$

Schritt 2.1.4.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.4.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$32 (2 x - 1) + x^{2} ((2 x^{2} - 1 x) - 12 x + 6) = 0$

Schritt 2.1.4.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (x (2 x - 1) - 6 (2 x - 1)) = 0$

Schritt 2.1.4.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} ((2 x - 1) (x - 6)) = 0$

Schritt 2.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x - 1) (x - 6) = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $2 x - 1$ aus $32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$ heraus.

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Schritt 2.1.5.1

Faktorisiere $2 x - 1$ aus $32 (2 x - 1)$ heraus.

$(2 x - 1) \cdot 32 + x^{2} (2 x - 1) (x - 6) = 0$

Schritt 2.1.5.2

Faktorisiere $2 x - 1$ aus $x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$ heraus.

$(2 x - 1) \cdot 32 + (2 x - 1) (x^{2} (x - 6)) = 0$

Schritt 2.1.5.3

Faktorisiere $2 x - 1$ aus $(2 x - 1) \cdot 32 + (2 x - 1) (x^{2} (x - 6))$ heraus.

$(2 x - 1) (32 + x^{2} (x - 6)) = 0$

Schritt 2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x - 1) (32 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 6) = 0$

Schritt 2.1.7

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.7.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.1.7.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 6) = 0$

Schritt 2.1.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(2 x - 1) (32 + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 6) = 0$

Schritt 2.1.7.2

Addiere $2$ und $1$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{3} + x^{2} \cdot - 6) = 0$

Schritt 2.1.8

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{3} - 6 x^{2}) = 0$

Schritt 2.1.9

Stelle die Terme um.

$(2 x - 1) (x^{3} - 6 x^{2} + 32) = 0$

Schritt 2.1.10

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.10.1

Schreibe $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.1.10.1.1

Faktorisiere $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.10.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Schritt 2.1.10.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

Schritt 2.1.10.1.1.3

Setze $- 2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.10.1.1.3.1

Setze $- 2$ in das Polynom ein.

${(- 2)}^{3} - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

Schritt 2.1.10.1.1.3.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$- 8 - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

Schritt 2.1.10.1.1.3.3

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$- 8 - 6 \cdot 4 + 32$

Schritt 2.1.10.1.1.3.4

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$- 8 - 24 + 32$

Schritt 2.1.10.1.1.3.5

Subtrahiere $24$ von $- 8$ .

$- 32 + 32$

Schritt 2.1.10.1.1.3.6

Addiere $- 32$ und $32$ .

$0$

Schritt 2.1.10.1.1.4

Da $- 2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 32}{x + 2}$

Schritt 2.1.10.1.1.5

Dividiere $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ durch $x + 2$ .

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Schritt 2.1.10.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$32$

Schritt 2.1.10.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$

Schritt 2.1.10.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 2.1.10.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 2.1.10.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Schritt 2.1.10.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 2.1.10.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 8 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 2.1.10.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$

Schritt 2.1.10.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 8 x^{2} - 16 x$

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$

Schritt 2.1.10.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$

Schritt 2.1.10.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

Schritt 2.1.10.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $16 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

Schritt 2.1.10.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							+	$16 x$	+	$32$

Schritt 2.1.10.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $16 x + 32$

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$

Schritt 2.1.10.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$
										$0$

Schritt 2.1.10.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 8 x + 16$

Schritt 2.1.10.1.1.6

Schreibe $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ als eine Menge von Faktoren.

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 8 x + 16)) = 0$

Schritt 2.1.10.1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1.10.1.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 8 x + 4^{2})) = 0$

Schritt 2.1.10.1.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Schritt 2.1.10.1.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Schritt 2.1.10.1.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 4$ .

$(2 x - 1) ((x + 2) {(x - 4)}^{2}) = 0$

Schritt 2.1.10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(2 x - 1) (x + 2) {(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 2.3

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 2.4

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.5

Setze ${(x - 4)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze ${(x - 4)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 2.5.2

Löse ${(x - 4)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.5.2.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 1) (x + 2) {(x - 4)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{2}, - 2, 4$

Schritt 3