Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{\sin (π x)}{x}$

Schritt 1

Setze $\frac{\sin (π x)}{x}$ gleich $0$ .

$\frac{\sin (π x)}{x} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$\sin (π x) = 0$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$π x = \arcsin (0)$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$π x = 0$

Schritt 2.2.3

Teile jeden Ausdruck in $π x = 0$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = 0$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Schritt 2.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{π}$

Schritt 2.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $π$ .

$x = 0$

Schritt 2.2.4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$π x = π - 0$

Schritt 2.2.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$π x = π + 0$

Schritt 2.2.5.1.2

Addiere $π$ und $0$ .

$π x = π$

Schritt 2.2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $π x = π$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = π$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Schritt 2.2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.2.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Schritt 2.2.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{π}$

Schritt 2.2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.2.5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{π}{π}$

Schritt 2.2.5.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 1$

Schritt 2.2.6

Ermittele die Periode von $\sin (π x)$ .

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Schritt 2.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.2.6.2

Ersetze $b$ durch $π$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| π |}$

Schritt 2.2.6.3

$π$ ist ungefähr $3.14159265$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{π}$

Schritt 2.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{π}$

Schritt 2.2.6.4.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$

Schritt 2.2.7

Die Periode der Funktion $\sin (π x)$ ist $2$ , d. h., Werte werden sich alle $2$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 n, 1 + 2 n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.3

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = 1 n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3