Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{4} + 6 x^{3} - 16 x^{2} - 54 x + 63$

Schritt 1

Setze $x^{4} + 6 x^{3} - 16 x^{2} - 54 x + 63$ gleich $0$ .

$x^{4} + 6 x^{3} - 16 x^{2} - 54 x + 63 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$6 x^{3} - 54 x + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x^{3} - 54 x$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x^{3}$ heraus.

$6 x (x^{2}) - 54 x + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $6 x$ aus $- 54 x$ heraus.

$6 x (x^{2}) + 6 x (- 9) + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x (x^{2}) + 6 x (- 9)$ heraus.

$6 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$6 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$6 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

Schritt 2.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$6 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 16 x^{2} + 63 = 0$

Schritt 2.1.5

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$6 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 16 x^{2} + 63 = 0$

Schritt 2.1.6

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$6 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 16 u + 63 = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere $u^{2} - 16 u + 63$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.7.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $63$ und deren Summe $- 16$ ist.

$- 9, - 7$

Schritt 2.1.7.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$6 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u - 7) = 0$

Schritt 2.1.8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$6 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} - 7) = 0$

Schritt 2.1.9

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$6 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 7) = 0$

Schritt 2.1.10

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$6 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 7) = 0$

Schritt 2.1.11

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $6 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 7)$ heraus.

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Schritt 2.1.11.1

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $6 x (x + 3) (x - 3)$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) (6 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 7) = 0$

Schritt 2.1.11.2

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $(x + 3) (x - 3) (6 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 7)$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) (6 x + x^{2} - 7) = 0$

Schritt 2.1.12

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x + 3) (x - 3) (6 u + u^{2} - 7) = 0$

Schritt 2.1.13

Faktorisiere $6 u + u^{2} - 7$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.13.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 7$ und deren Summe $6$ ist.

$- 1, 7$

Schritt 2.1.13.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 3) (x - 3) ((u - 1) (u + 7)) = 0$

Schritt 2.1.14

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.14.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x - 1) (x + 7)) = 0$

Schritt 2.1.14.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x + 7) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 7 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.4

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.6

Setze $x + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x + 7$ gleich $0$ .

$x + 7 = 0$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 3) (x - 3) (x - 1) (x + 7) = 0$ wahr machen.

$x = - 3, 3, 1, - 7$

Schritt 3