Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7$

Schritt 1

Setze $x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7$ gleich $0$ .

$x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$x^{5} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{5} + 2 x^{3} + x$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$x \cdot x^{4} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 2.1.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 2.1.2.5

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{4} + x (2 x^{2})$ heraus.

$x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 2.1.2.6

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1$ heraus.

$x (x^{4} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 2.1.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x (u^{2} + 2 u + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1.5.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x (u^{2} + 2 u + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 2.1.5.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Schritt 2.1.5.3

Schreibe das Polynom neu.

$x (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 2.1.5.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 1$ .

$x {(u + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 2.1.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere $7$ aus $7 x^{4} + 14 x^{2} + 7$ heraus.

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Schritt 2.1.7.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x^{4}$ heraus.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 14 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 2.1.7.2

Faktorisiere $7$ aus $14 x^{2}$ heraus.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 = 0$

Schritt 2.1.7.3

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

Schritt 2.1.7.4

Faktorisiere $7$ aus $7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2})$ heraus.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

Schritt 2.1.7.5

Faktorisiere $7$ aus $7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1)$ heraus.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Schritt 2.1.8

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Schritt 2.1.9

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

Schritt 2.1.10

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1.10.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

Schritt 2.1.10.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Schritt 2.1.10.3

Schreibe das Polynom neu.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 2.1.10.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 1$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(u + 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.1.11

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.1.12

Faktorisiere ${(x^{2} + 1)}^{2}$ aus $x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.12.1

Faktorisiere ${(x^{2} + 1)}^{2}$ aus $x {(x^{2} + 1)}^{2}$ heraus.

${(x^{2} + 1)}^{2} x + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.1.12.2

Faktorisiere ${(x^{2} + 1)}^{2}$ aus $7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ heraus.

${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7 = 0$

Schritt 2.1.12.3

Faktorisiere ${(x^{2} + 1)}^{2}$ aus ${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7$ heraus.

${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

$x + 7 = 0$

Schritt 2.3

Setze ${(x^{2} + 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze ${(x^{2} + 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.3.2

Löse ${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 2.3.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 2.3.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 2.3.2.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 2.3.2.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.2.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 2.3.2.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 2.3.2.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 2.4

Setze $x + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x + 7$ gleich $0$ .

$x + 7 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$ wahr machen.

$x = i, - i, - 7$

Schritt 3