Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{5} - x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} - 6 x$

Schritt 1

Setze $x^{5} - x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} - 6 x$ gleich $0$ .

$x^{5} - x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} - 6 x = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5} - x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} - 6 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$x \cdot x^{4} - x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} - 6 x = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{4}$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x (- x^{3}) + x^{3} - 3 x^{2} - 6 x = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x (- x^{3}) + x \cdot x^{2} - 3 x^{2} - 6 x = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x (- x^{3}) + x \cdot x^{2} + x (- 3 x) - 6 x = 0$

Schritt 2.1.1.5

Faktorisiere $x$ aus $- 6 x$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x (- x^{3}) + x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + x \cdot - 6 = 0$

Schritt 2.1.1.6

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{4} + x (- x^{3})$ heraus.

$x (x^{4} - x^{3}) + x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + x \cdot - 6 = 0$

Schritt 2.1.1.7

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{4} - x^{3}) + x \cdot x^{2}$ heraus.

$x (x^{4} - x^{3} + x^{2}) + x (- 3 x) + x \cdot - 6 = 0$

Schritt 2.1.1.8

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{4} - x^{3} + x^{2}) + x (- 3 x)$ heraus.

$x (x^{4} - x^{3} + x^{2} - 3 x) + x \cdot - 6 = 0$

Schritt 2.1.1.9

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{4} - x^{3} + x^{2} - 3 x) + x \cdot - 6$ heraus.

$x (x^{4} - x^{3} + x^{2} - 3 x - 6) = 0$

Schritt 2.1.2

Gruppiere die Terme um.

$x (- x^{3} - 3 x + x^{4} + x^{2} - 6) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{3} - 3 x$ heraus.

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Schritt 2.1.3.1

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{3}$ heraus.

$x (- x \cdot x^{2} - 3 x + x^{4} + x^{2} - 6) = 0$

Schritt 2.1.3.2

Faktorisiere $- x$ aus $- 3 x$ heraus.

$x (- x \cdot x^{2} - x \cdot 3 + x^{4} + x^{2} - 6) = 0$

Schritt 2.1.3.3

Faktorisiere $- x$ aus $- x (x^{2}) - x (3)$ heraus.

$x (- x (x^{2} + 3) + x^{4} + x^{2} - 6) = 0$

Schritt 2.1.4

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x (- x (x^{2} + 3) + {(x^{2})}^{2} + x^{2} - 6) = 0$

Schritt 2.1.5

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x (- x (x^{2} + 3) + u^{2} + u - 6) = 0$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere $u^{2} + u - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $1$ ist.

$- 2, 3$

Schritt 2.1.6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x (- x (x^{2} + 3) + (u - 2) (u + 3)) = 0$

Schritt 2.1.7

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x (- x (x^{2} + 3) + (x^{2} - 2) (x^{2} + 3)) = 0$

Schritt 2.1.8

Faktorisiere $x^{2} + 3$ aus $- x (x^{2} + 3) + (x^{2} - 2) (x^{2} + 3)$ heraus.

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Schritt 2.1.8.1

Faktorisiere $x^{2} + 3$ aus $- x (x^{2} + 3)$ heraus.

$x ((x^{2} + 3) (- x) + (x^{2} - 2) (x^{2} + 3)) = 0$

Schritt 2.1.8.2

Faktorisiere $x^{2} + 3$ aus $(x^{2} - 2) (x^{2} + 3)$ heraus.

$x ((x^{2} + 3) (- x) + (x^{2} + 3) (x^{2} - 2)) = 0$

Schritt 2.1.8.3

Faktorisiere $x^{2} + 3$ aus $(x^{2} + 3) (- x) + (x^{2} + 3) (x^{2} - 2)$ heraus.

$x ((x^{2} + 3) (- x + x^{2} - 2)) = 0$

Schritt 2.1.9

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$x ((x^{2} + 3) (- u + u^{2} - 2)) = 0$

Schritt 2.1.10

Faktorisiere $- u + u^{2} - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.10.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 2, 1$

Schritt 2.1.10.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x ((x^{2} + 3) ((u - 2) (u + 1))) = 0$

Schritt 2.1.11

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.11.1

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.11.1.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$x ((x^{2} + 3) ((x - 2) (x + 1))) = 0$

Schritt 2.1.11.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$x ((x^{2} + 3) (x - 2) (x + 1)) = 0$

Schritt 2.1.11.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x^{2} + 3) (x - 2) (x + 1) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze $x^{2} + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{2} + 3$ gleich $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 3$

Schritt 2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Schritt 2.4.2.3.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Schritt 2.4.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Schritt 2.4.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{3}$

Schritt 2.4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 2.4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{3}$

Schritt 2.4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Schritt 2.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.6

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x^{2} + 3) (x - 2) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}, 2, - 1$

Schritt 3