Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{13}{2} x^{2} - 4 x - \frac{7}{2})$

Schritt 1

Setze $2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{13}{2} x^{2} - 4 x - \frac{7}{2})$ gleich $0$ .

$2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{13}{2} x^{2} - 4 x - \frac{7}{2}) = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Vereinfache $2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{13}{2} x^{2} - 4 x - \frac{7}{2})$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{13}{2}$ .

$2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{x^{2} \cdot 13}{2} - 4 x - \frac{7}{2}) = 0$

Schritt 2.1.1.2

Bringe $13$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{13 x^{2}}{2} - 4 x - \frac{7}{2}) = 0$

Schritt 2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{4} + 2 (- 8 x^{3}) + 2 (- \frac{13 x^{2}}{2}) + 2 (- 4 x) + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

Schritt 2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.3.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$2 x^{4} - 16 x^{3} + 2 (- \frac{13 x^{2}}{2}) + 2 (- 4 x) + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

Schritt 2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{13 x^{2}}{2}$ in den Zähler.

$2 x^{4} - 16 x^{3} + 2 \frac{- 13 x^{2}}{2} + 2 (- 4 x) + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

Schritt 2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{4} - 16 x^{3} + 2 \frac{- 13 x^{2}}{2} + 2 (- 4 x) + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

Schritt 2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{4} - 16 x^{3} - 13 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$2 x^{4} - 16 x^{3} - 13 x^{2} - 8 x + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

Schritt 2.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7}{2}$ in den Zähler.

$2 x^{4} - 16 x^{3} - 13 x^{2} - 8 x + 2 (\frac{- 7}{2}) = 0$

Schritt 2.1.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{4} - 16 x^{3} - 13 x^{2} - 8 x + 2 (\frac{- 7}{2}) = 0$

Schritt 2.1.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{4} - 16 x^{3} - 13 x^{2} - 8 x - 7 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die Terme um.

$- 16 x^{3} - 8 x + 2 x^{4} - 13 x^{2} - 7 = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $- 8 x$ aus $- 16 x^{3} - 8 x$ heraus.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $- 8 x$ aus $- 16 x^{3}$ heraus.

$- 8 x (2 x^{2}) - 8 x + 2 x^{4} - 13 x^{2} - 7 = 0$

Schritt 2.2.2.2

Faktorisiere $- 8 x$ aus $- 8 x$ heraus.

$- 8 x (2 x^{2}) - 8 x \cdot 1 + 2 x^{4} - 13 x^{2} - 7 = 0$

Schritt 2.2.2.3

Faktorisiere $- 8 x$ aus $- 8 x (2 x^{2}) - 8 x (1)$ heraus.

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 x^{4} - 13 x^{2} - 7 = 0$

Schritt 2.2.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 {(x^{2})}^{2} - 13 x^{2} - 7 = 0$

Schritt 2.2.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} - 13 u - 7 = 0$

Schritt 2.2.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 7 = - 14$ und deren Summe gleich $b = - 13$ ist.

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Schritt 2.2.5.1.1

Faktorisiere $- 13$ aus $- 13 u$ heraus.

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} - 13 u - 7 = 0$

Schritt 2.2.5.1.2

Schreibe $- 13$ um als $1$ plus $- 14$

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} + (1 - 14) u - 7 = 0$

Schritt 2.2.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} + 1 u - 14 u - 7 = 0$

Schritt 2.2.5.1.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} + u - 14 u - 7 = 0$

Schritt 2.2.5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} + u - 14 u - 7 = 0$

Schritt 2.2.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + u (2 u + 1) - 7 (2 u + 1) = 0$

Schritt 2.2.5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u + 1$ .

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + (2 u + 1) (u - 7) = 0$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + (2 x^{2} + 1) (x^{2} - 7) = 0$

Schritt 2.2.7

Faktorisiere $2 x^{2} + 1$ aus $- 8 x (2 x^{2} + 1) + (2 x^{2} + 1) (x^{2} - 7)$ heraus.

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Schritt 2.2.7.1

Faktorisiere $2 x^{2} + 1$ aus $- 8 x (2 x^{2} + 1)$ heraus.

$(2 x^{2} + 1) (- 8 x) + (2 x^{2} + 1) (x^{2} - 7) = 0$

Schritt 2.2.7.2

Faktorisiere $2 x^{2} + 1$ aus $(2 x^{2} + 1) (- 8 x) + (2 x^{2} + 1) (x^{2} - 7)$ heraus.

$(2 x^{2} + 1) (- 8 x + x^{2} - 7) = 0$

Schritt 2.2.8

Stelle die Terme um.

$(2 x^{2} + 1) (x^{2} - 8 x - 7) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x^{2} + 1 = 0$

$x^{2} - 8 x - 7 = 0$

Schritt 2.4

Setze $2 x^{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $2 x^{2} + 1$ gleich $0$ .

$2 x^{2} + 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $2 x^{2} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} = - 1$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Schritt 2.4.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.4.2.4.1

Schreibe $- \frac{1}{2}$ als $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ um.

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Schritt 2.4.2.4.1.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Schritt 2.4.2.4.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Schritt 2.4.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Schritt 2.4.2.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.4.2.4.4

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.4.2.4.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.4.2.4.6

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 2.4.2.4.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.2.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 2.4.2.4.7.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 2.4.2.4.7.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 2.4.2.4.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.4.2.4.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 2.4.2.4.7.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.4.2.4.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.4.2.4.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.4.2.4.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.4.2.4.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.4.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.4.2.4.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 2.4.2.4.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.4.2.4.8

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.4.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.4.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.4.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.4.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.5

Setze $x^{2} - 8 x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x^{2} - 8 x - 7$ gleich $0$ .

$x^{2} - 8 x - 7 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $x^{2} - 8 x - 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.5.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 8$ und $c = - 7$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.3.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 7$ .

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Schritt 2.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 7$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.3

Addiere $64$ und $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{92}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.4

Schreibe $92$ als $2^{2} \cdot 23$ um.

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Schritt 2.5.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $92$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (23)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{23}}{2}$

Schritt 2.5.2.3.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{23}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{23}$

Schritt 2.5.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 4 + \sqrt{23}, 4 - \sqrt{23}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x^{2} + 1) (x^{2} - 8 x - 7) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}, 4 + \sqrt{23}, 4 - \sqrt{23}$

Schritt 3