Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 2 x^{4} - x^{3} - 42 x^{2} + 16 x + 160$

Schritt 1

Setze $2 x^{4} - x^{3} - 42 x^{2} + 16 x + 160$ gleich $0$ .

$2 x^{4} - x^{3} - 42 x^{2} + 16 x + 160 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$2 x^{4} + 16 x - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{4} + 16 x$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{4}$ heraus.

$2 x (x^{3}) + 16 x - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $2 x$ aus $16 x$ heraus.

$2 x (x^{3}) + 2 x (8) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x^{3}) + 2 x (8)$ heraus.

$2 x (x^{3} + 8) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$2 x (x^{3} + 2^{3}) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Schritt 2.1.4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$2 x ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.5.1

Vereinfache.

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Schritt 2.1.5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 x ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Schritt 2.1.5.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$2 x ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Schritt 2.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere $- x^{3} - 42 x^{2} + 160$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.6.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 160, \pm 2, \pm 80, \pm 4, \pm 40, \pm 5, \pm 32, \pm 8, \pm 20, \pm 10, \pm 16$

$q = \pm 1$

Schritt 2.1.6.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 160, \pm 2, \pm 80, \pm 4, \pm 40, \pm 5, \pm 32, \pm 8, \pm 20, \pm 10, \pm 16$

Schritt 2.1.6.3

Setze $- 2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.6.3.1

Setze $- 2$ in das Polynom ein.

$- {(- 2)}^{3} - 42 {(- 2)}^{2} + 160$

Schritt 2.1.6.3.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$- - 8 - 42 {(- 2)}^{2} + 160$

Schritt 2.1.6.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$8 - 42 {(- 2)}^{2} + 160$

Schritt 2.1.6.3.4

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$8 - 42 \cdot 4 + 160$

Schritt 2.1.6.3.5

Mutltipliziere $- 42$ mit $4$ .

$8 - 168 + 160$

Schritt 2.1.6.3.6

Subtrahiere $168$ von $8$ .

$- 160 + 160$

Schritt 2.1.6.3.7

Addiere $- 160$ und $160$ .

$0$

Schritt 2.1.6.4

Da $- 2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- x^{3} - 42 x^{2} + 160}{x + 2}$

Schritt 2.1.6.5

Dividiere $- x^{3} - 42 x^{2} + 160$ durch $x + 2$ .

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Schritt 2.1.6.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$42 x^{2}$

$0 x$

$160$

Schritt 2.1.6.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$

Schritt 2.1.6.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 2.1.6.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{3} - 2 x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 2.1.6.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$

Schritt 2.1.6.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 2.1.6.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 40 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$40 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 2.1.6.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	-	$40 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$40 x^{2}$	-	$80 x$

Schritt 2.1.6.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 40 x^{2} - 80 x$

			-	$x^{2}$	-	$40 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$

Schritt 2.1.6.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	-	$40 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$
							+	$80 x$

Schritt 2.1.6.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$	-	$40 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$
							+	$80 x$	+	$160$

Schritt 2.1.6.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $80 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$40 x$	+	$80$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$
							+	$80 x$	+	$160$

Schritt 2.1.6.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	-	$40 x$	+	$80$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$
							+	$80 x$	+	$160$
							+	$80 x$	+	$160$

Schritt 2.1.6.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $80 x + 160$

			-	$x^{2}$	-	$40 x$	+	$80$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$
							+	$80 x$	+	$160$
							-	$80 x$	-	$160$

Schritt 2.1.6.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	-	$40 x$	+	$80$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$
							+	$80 x$	+	$160$
							-	$80 x$	-	$160$
										$0$

Schritt 2.1.6.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- x^{2} - 40 x + 80$

Schritt 2.1.6.6

Schreibe $- x^{3} - 42 x^{2} + 160$ als eine Menge von Faktoren.

$2 x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + (x + 2) (- x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere $x + 2$ aus $2 x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + (x + 2) (- x^{2} - 40 x + 80)$ heraus.

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Schritt 2.1.7.1

Faktorisiere $x + 2$ aus $2 x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ heraus.

$(x + 2) (2 x (x^{2} - 2 x + 4)) + (x + 2) (- x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Schritt 2.1.7.2

Faktorisiere $x + 2$ aus $(x + 2) (2 x (x^{2} - 2 x + 4)) + (x + 2) (- x^{2} - 40 x + 80)$ heraus.

$(x + 2) (2 x (x^{2} - 2 x + 4) - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Schritt 2.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 2) (2 x \cdot x^{2} + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4 - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Schritt 2.1.9

Vereinfache.

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Schritt 2.1.9.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.9.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$(x + 2) (2 (x^{2} x) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4 - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Schritt 2.1.9.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.1.9.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x + 2) (2 (x^{2} x) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4 - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Schritt 2.1.9.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 2) (2 x^{2 + 1} + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4 - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Schritt 2.1.9.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$(x + 2) (2 x^{3} + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4 - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Schritt 2.1.9.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(x + 2) (2 x^{3} + 2 \cdot (- 2 x \cdot x) + 2 x \cdot 4 - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Schritt 2.1.9.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$(x + 2) (2 x^{3} + 2 \cdot (- 2 x \cdot x) + 8 x - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Schritt 2.1.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.10.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.10.1.1

Bewege $x$ .

$(x + 2) (2 x^{3} + 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) + 8 x - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Schritt 2.1.10.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x + 2) (2 x^{3} + 2 \cdot (- 2 x^{2}) + 8 x - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Schritt 2.1.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$(x + 2) (2 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Schritt 2.1.11

Subtrahiere $x^{2}$ von $- 4 x^{2}$ .

$(x + 2) (2 x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 40 x + 80) = 0$

Schritt 2.1.12

Subtrahiere $40 x$ von $8 x$ .

$(x + 2) (2 x^{3} - 5 x^{2} - 32 x + 80) = 0$

Schritt 2.1.13

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.13.1

Schreibe $2 x^{3} - 5 x^{2} - 32 x + 80$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.1.13.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.13.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 2) ((2 x^{3} - 5 x^{2}) - 32 x + 80) = 0$

Schritt 2.1.13.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 2) (x^{2} (2 x - 5) - 16 (2 x - 5)) = 0$

Schritt 2.1.13.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 5$ .

$(x + 2) ((2 x - 5) (x^{2} - 16)) = 0$

Schritt 2.1.13.1.3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$(x + 2) ((2 x - 5) (x^{2} - 4^{2})) = 0$

Schritt 2.1.13.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.13.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$(x + 2) ((2 x - 5) ((x + 4) (x - 4))) = 0$

Schritt 2.1.13.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) ((2 x - 5) (x + 4) (x - 4)) = 0$

Schritt 2.1.13.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) (2 x - 5) (x + 4) (x - 4) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.4

Setze $2 x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $2 x - 5$ gleich $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $2 x - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 5$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 2.5

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 2.6

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (2 x - 5) (x + 4) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, \frac{5}{2}, - 4, 4$

Schritt 3