Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 4 x^{3} + 12 x^{2} - x - 3$

Schritt 1

Setze $4 x^{3} + 12 x^{2} - x - 3$ gleich $0$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} - x - 3 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(4 x^{3} + 12 x^{2}) - x - 3 = 0$

Schritt 2.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$4 x^{2} (x + 3) - (x + 3) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 3$ .

$(x + 3) (4 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$(x + 3) ({(2 x)}^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.1.4

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x + 3) ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = 1$ .

$(x + 3) ((2 x + 1) (2 x - 1)) = 0$

Schritt 2.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 3) (2 x + 1) (2 x - 1) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.4

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.5

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 3) (2 x + 1) (2 x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 3, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

Schritt 3