Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 5 x^{3} - x^{2} + 5 x - 1$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 5 x^{3} - x^{2} + 5 x - 1$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $5 x^{3} - x^{2} + 5 x - 1 = 0$ um.

$5 x^{3} - x^{2} + 5 x - 1 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(5 x^{3} - x^{2}) + 5 x - 1 = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (5 x - 1) + 1 (5 x - 1) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x - 1$ .

$(5 x - 1) (x^{2} + 1) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 x - 1 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $5 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $5 x - 1$ gleich $0$ .

$5 x - 1 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $5 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 1$

Schritt 1.2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 1$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 1$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

Schritt 1.2.5

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $x^{2} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 1.2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 1.2.5.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 1.2.5.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.5.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 1.2.5.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 1.2.5.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(5 x - 1) (x^{2} + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{5}, i, - i$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{1}{5}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 5 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} + 5 (0) - 1$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 5 \cdot 0^{3} - {(0)}^{2} + 5 (0) - 1$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 5 \cdot 0^{3} - 0^{2} + 5 (0) - 1$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = 5 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} + 5 (0) - 1$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $5 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} + 5 (0) - 1$ .

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 5 \cdot 0 - {(0)}^{2} + 5 (0) - 1$

Schritt 2.2.4.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$y = 0 - {(0)}^{2} + 5 (0) - 1$

Schritt 2.2.4.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 0 + 5 (0) - 1$

Schritt 2.2.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 5 (0) - 1$

Schritt 2.2.4.1.5

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 1$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0 - 1$

Schritt 2.2.4.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 - 1$

Schritt 2.2.4.2.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$y = - 1$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 1)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{1}{5}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 1)$

Schritt 4